Russia, Irkutsk, East-Siberian institute of MIA of Russia, e-mail:arsh@esi.irk.ru

Abstract. This paper considers one of possible approaches to development of AI-systems. This approach is based on the transition from scalar (“many-valued”) to a vector logic, in which True and False are separated from each other. They are regarded as independent aspects of truth. Therefore, truth is described by a two-component vector. Reasons are adduced. Properties of these logics are discussed.

Россия, Иркутск, Восточно-Сибирский институт МВД России, e-mail:arsh@esi.irk.ru

Аннотация. В докладе рассматривается один из возможных подходов к разработке систем ИИ. В основе подхода лежит идея перехода от скалярной (“многозначной”) к векторной логике в которой Истина и Ложь отделены друг от друга. Они считаются независимыми аспектами истинности, которая описывается двухкомпонентным вектором. Даются обоснования и обсуждаются свойства таких логик.

В системах управления различными техническими устройствами все чаще применяют алгоритмы, основанные на плохоформализованных знаниях. Когда трудно или невозможно построить точный алгоритм управления пользуются его “приближенным” описанием на языке продукций: “если А то В”. При этом с управлением связан некий логический вывод, определяющий очередной шаг управления на основе предыдущих шагов и информации о состоянии системы. Нередко такая информация имеет неполный и противоречивый характер. В таком случае для управления применяют различные схемы неточного вывода. Одна из подобных схем предлагается в докладе.

Несколько слов о терминах. Слова “утверждение”, “суждение”, “высказывание” здесь используются как синонимы и обозначают любую языковую конструкцию, которую можно проверить на соответствие фактам. В свою очередь под истинностью понимается выраженный в числовой или иной форме потенциальный или актуальный результат этой проверки. Словами “Истина” и “Ложь” обозначим две самые очевидные грани, категории, стороны этого соответствия, которые полагаются независимыми и которые назовем аспектами истинности. Вопрос о единственности этих категорий (аспектов) в докладе не рассматривается.

Итак, в векторе истинности категории Истина и Ложь, которые обычно считаются взаимосвязанными, отделены друг от друга. Чтобы проиллюстрировать полезность и обоснованность такого шага приведем простой пример. Пусть нам необходимо распознать некоторый объект, информация о котором поступает от различных датчиков. Очевидно, что в общем случае она может носить малодостоверный и противоречивый характер. Введем некие меры доверия к датчикам (“авторитетность”). Ясно, что указанные меры в значительной степени зависят от условий работы датчиков, их технического состояния и пр. Предположим, что эта мера есть число из интервала [0,1]. Возьмем для простоты случай двух противоречивых свидетельств с мерами доверия 0.2 (1-й датчик дал показания “за”) и 0.2 (2-й датчик дал показания “против”), а также двух других свидетельств с мерами 0.9 и 0.9. Ясно, что эти ситуации принципиально различны: в первом случае мы имеем дело с противоречивостью малодостоверных свидетельств, а во втором, фактически, - с действительным противоречием. Техники, основанные на скалярном представлении истинности обычно не различают эти ситуации, предлагая и в том и другом случае некую “усредненную” меру, например 0.5. При векторном же подходе мы получаем совершенно различные векторы истинности: {0.2;0.2} и {0.9;0.9}. При этом логический вывод, основанный на векторной технике, просто отбросит свидетельства (высказывания) с низкой достоверностью (в нашем случае с вектором {0.2;0.2}) и будет обрабатывать утверждение с вектором {0.9;0.9} [1].

Приведенную ситуацию легко обобщить и на другие случаи, где приходится иметь дело с истинностью, зависящей от множества разнообразных факторов: свидетельств, частных смыслов, показателей и т.п. различной степени важности и значимости. При этом зачастую невозможно выпятить одни факторы в ущерб другим, поскольку это исказит смысл утверждения в целом. Утверждение, истинность которого формируется различными факторами так, что никаким из этих факторов нельзя пренебречь без полной или частичной потери или искажения его смысла в целом назовем многофакторным. Поскольку факторы могут быть независимыми, причем среди них есть как те, что подтверждают, так и те, что опровергают суждение, это естественным образом формирует векторность. Действительно, если имеем некоторое свидетельство “за” с мерой, скажем 0.7, это вовсе не означает, что данное свидетельство автоматически с мерой 0.3 – “против”. Принцип “кто не с нами – тот против нас” не всегда верен. Если некто сообщил мне, что он обнаружил клад и я верю ему на 0.1, это не означает, что его сведения на 0.9 – Ложь. Истинность такого заявления будет {0.1;0}.

Для работы с компонентами векторов при построении составных высказываний в [1] предложено использовать операции перестановки и дополнения для моделирования отрицания, а также композиционного сложения и композиционного умножения при моделировании связок “и” и “или”. Рассмотрим их подробнее.

Пусть выражение [a] обозначает вектор истинности высказывания a. То есть, [a] = {a⁺;a- }. Тогда утверждение “не a” можно моделировать операцией перестановки значений этих компонентов:

[“не a”] = {a- ;a⁺}.

При этом свидетельства “за” становятся свидетельствами “против” и наоборот.

Под дополнением вектора {a⁺;a- } будем понимать вектор {1 - a⁺; 1 - a- }. Если предыдущий способ отрицания меняет позитивные и негативные свидетельства местами, то моделирование дополнением:

определяет его как утверждение о необоснованности, “недоопределенности” a. По существу мы здесь уже имеем дело с двумя видами отрицания, точнее – с отрицаниями в двух разных смыслах. В скалярном случае, когда a- =1 - a⁺, оба отрицания совпадают.

Теперь перейдем к связкам “и” и “или”. Сначала аксиоматически введем над компонентами векторов пару бинарных операций: композиционного сложения и композиционного умножения.

Определение 1. Композиционным сложением x A y и умножением x · y двух чисел x, y I [0, 1] назовем бинарные операции со свойствами:

1) x A y = y A x; x · y = y · x;

2) x' A y ? x' ' A y, при x' ? x' ' ; x' · y ? x' ' · y, при x' ? x' ' ;

3) x A 0 = x; x · 0 = 0;

4) x A 1 = 1; x · 1 = x;

5) x A (у A z) = (x A y) A z. x · (y · z) = (x · y) · z.

Их результаты назовем композиционной суммой и композиционным произведением.

Помимо этого, для совместимости процедур обработки векторной истинности с процедурами обработки скалярной истинности, когда выполняется известное соотношение a- = 1 - a⁺, дополним данные свойства также свойствами

(1 - x) A (1 - y) = 1 - x · y и (1 - x) · (1 - y) = 1 - x A y.

Условиям 1)-5) удовлетворяют следующие пары (каждая формирует свою логику):

x A y = max(x, y), x · y = min(x, y);

x A y = x + y - xy, x · y = xy; x A y = min(1, x + y), x · y = max(0, x + y - 1).

При этом пара max(x, y) и min(x, y) обеспечивает также и свойство дистрибутивности:

x · (y A z) = x · y A x · z

(приоритет выполнения операций · и A как у обычных умножения и сложения).

Для моделирования связок “и” и “или” в [1] введен набор операций над высказываниями, названных ij-композициями. Определяются они следующим образом.

Определение 2. ij-композицией высказываний a и b, где i, j = 0 или 1, назовем составное высказывание c, вектор истинности которого вычисляется по правилу:

- значение позитивного аспекта истинности вектора [c] есть композиционное произведение позитивных аспектов истинности пары векторов [a] и [b] (т.е. c⁺= a⁺ · b⁺) если i = 0 и есть композиционная сумма этих аспектов истинности (c⁺ = a⁺ A b⁺) если i = 1;

- значение негативного аспекта истинности вектора [c] есть композиционное произведение негативных аспектов истинности пары векторов [a] и [b] (т.е. c^- = a- · b- ) если j = 0 и есть композиционная сумма этих аспектов истинности (c- = a- A b- ) если j = 1.

Существует только четыре возможных ij-композиции:

1) 00-композиция с вектором истинности [c] = {a⁺ · b⁺ ; a- · b- };

2) 01-композиция с вектором истинности [c] = {a⁺ · b⁺ ; a- A b- };

3) 10-композиция с вектором истинности [c] = {a⁺ A b⁺ ; a- · b- };

4) 11-композиция с вектором истинности [c] = {a⁺ A b⁺ ; a- A b- }.

При этом оказывается, что связке “и” может отвечать две композиции: 01- и 00-композиция. Аналогичным образом связке “или” – 10- и 11-композиции. Причем последние из них, а именно 00- и 11-композиции начинают играть существенную роль, когда одно из высказываний близко к неопределенному (его вектор истинности близок к {0;0}), а второе при этом – к полностью противоречивому (т.е. к {1;1}) [1]. Ясно что в скалярном случае подобная ситуация невозможна. Все это порождает проблему моделирования языковых связок “и”, “или”, “не” при работе с векторными логиками.

Для расчета истинности в ходе дедуктивного вывода и накопления свидетельств в векторных логиках предложены следующие правила [1].

f (a,b) = 2(a⁺ – b⁺)( a- – b- ) /(( a⁺ – b⁺)² + (a- – b- )²).

Как уже говорилось, особенностью получаемых логик является полная взаимная независимость Истины и Лжи, а следовательно в них отсутствуют принципы противоречия и исключения третьего и (в общем случае) нет необходимости согласовывать Истину и Ложь между собой. Формализм не меняется и при наличии каких-то иных истинностных категорий, сверх Истины и Лжи, поскольку все они “ортогональны” первым двум и “спроектированы” в точку {0;0}. В то же время такие “традиционные” для многозначных логик истинностные константы как неопределенность (незнание) и противоречие оказываются лишь частным случаем векторного представления истинности. Все это позволяет надеяться, что логический вывод, а следовательно и системы управления, основанный на подобном представлении, будут менее критичны к проблеме надежности и противоречивости баз знаний. Более подробно вся техника и некоторые связанные с нею вопросы изложены в работах [1-3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Аршинский Л.В. Методы обработки нестрогих высказываний. - Иркутск: изд-во ВСИ МВД РФ, 1998.- 40 с.

2. Аршинский Л.В. Использование нестрогого вывода в задачах распознавания // Управление в системах: Вестник ИрГТУ. Сер. Кибернетика. - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 1998. - Вып.1, С.15-21.

3. Аршинский Л.В. Нестрогая квантификация // Управление в системах: Вестник ИрГТУ. Сер. Кибернетика. - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 1999. - Вып.2, С.3-9.