Russia, Saint-Petersburg, SPIIRAS

The paper is devoted to basic research results providing quality and accuracy of network-based algorithmic modeling of dynamic objects to be not lower modem level of quality and accuracy of their modeling in the form of ordinary differential equations set.

Россия, Санкт-Петербург, СПИИРАН.

Рассматриваются основные результаты исследований, обеспечивающие качество и точность алгоритмического сетевого моделирования динамических объектов не ниже современного уровня качества и точности их моделирования в форме систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Становление и развитие теории и практики алгоритмического моделирования [1,2,4,5] связано с моделированием в области экономики, экологии и т.п. Однако, простота технологии алгоритмического моделирования и практического применения реализующих ее программно-инструментальных средств привлекают к себе внимание специалистов из многих других областей. Это определило необходимость исследований и разработки методологии оценок и коррекции динамических свойств и характеристик (погрешностей) алгоритмических сетевых моделей (АСМ).

Развитие теории и практики алгоритмического моделирования базировалось на концепции непосредственного построения модели на основе анализа и фиксации в алгоритмической сети (АС) причинно-следственных связей (и их количественных характеристик) между процессами и явлениями в моделируемом объекте. Таким образом, строились, например, АСМ экономических систем, производственных, технологических, природных процессов [1,2,5] и т.п. Однако, трудно представить построение на той же основе АСМ, например, динамики ракеты-носителя [11], самолета или другого подобного объекта. В то же время построение АСМ таких объектов легко осуществимо по их известным дифференциальным математическим моделям (ДММ). При этом возможны два способа построения АСМ по ДММ.

По первому из них ДММ преобразуется в нормальной формы систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка, а затем в систему разностных уравнений с периодом дискретности , по которой строится АСМ.

Более эффективным является способ, основанный на аналогии с общим методом программирования дифференциальных задач на аналоговых вычислительных машинах (АВМ) [10]. Основанием для этого является возможность с помощью операторов алгоритмического базиса (АБ) языка АС (ЯАС) строить алгоритмические конструкции типа “емкость”, являющиеся дискретными эквивалентами аналоговых интеграторов АВМ. Преимущество этого способа состоит: во-первых, в том, что АСМ строится непосредственно по данной ДММ без ее предварительных преобразований; а во-вторых, в том, что по построенной таким образом АСМ легко восстанавливается эквивалентная исходной ДММ в форме системы ОДУ первого порядка.

АСМ, как дискретная модель некоторой непрерывной ДММ, позволяет “наблюдать” протекающие в ней процессы в дискретные моменты времени. Но дискретизация может приводить к существенным искажениям воспроизведения динамических свойств и характеристик процессов, описываемых ДММ. Решения, получаемые на дискретных моделях, в действительности являются точными решениями некоторой другой ДММ, часто отличающейся от исходной не только параметрами элементов [6,8], но и структурой [8].

Качественно и количественно такие искажения полностью определяются динамическими свойствами и описываются динамическими характеристиками [6,7,8] операторов дискретизации (ОД) АСМ, основу которых составляют операторы , определяющие “задержку” процессов в АСМ на время . В классических АСМ их ОД являются эквивалентами метода Эйлера интегрирования ОДУ с шагом . В более общем случае, используя дополнительно операторы АБ ЯАС, можно ввести в состав АСМ более сложные и более точные ОД-эквиваленты, например, известных явных методов Рунге-Кутты (РК-методов) дискретизации ОДУ.

Анализ динамических свойств и характеристик АСМ основан на использовании динамических характеристик ОД АСМ. Динамической характеристикой ОД, или, что то же, численного РК-метода [6,7] называется логарифм натуральный его функции устойчивости [3]. Динамическая характеристика ОД — это некоторый оператор преобразования спектра матрицы Якоби исходной ДММ в спектр матрицы другой ДММ, точному решению которой принадлежит дискретная последовательность точек численного решения, получаемая на выходе АСМ. Эти свойства динамических характеристик ОД позволяют на основе сопоставления спектров матриц названных ДММ сравнительно просто проводить как перспективный (до проведения имитационных экспериментов с АСМ), так и ретроспективный (по результатам экспериментов) количественный анализ ожидаемых (полученных) свойств и погрешностей АСМ, а также целенаправленно формировать стратегию обеспечения максимальной адекватности АСМ и ДММ. Коррекция динамических свойств и характеристик АСМ может осуществляться:

• изменением периода дискретности Т;

• применением в данной АСМ более сложных и более точных ОД;

• одновременным изменением Т и введением более сложных ОД.

Первый способ самый простой и широко известен в практике численного интегрирования ОДУ, а третий является комбинацией первых двух. Поэтому основное внимание уделим второму способу и его вариантам.

Первые два из них ориентированы на их применение соответственно в скалярных и матричных версиях систем автоматизации моделирования [1,2,4,5]. При этом введение в АСМ более сложных ОД предполагает неизбежную трансформацию структуры исходной АСМ в соответствии с алгоритмом вводимых в нее ОД, и их анализ имеет, скорее всего, чисто теоретическое, чем практическое значение.

Поэтому целесообразно подробнее рассмотреть наиболее эффективный третий вариант способа [9]. Возможность его применения появилась в результате модернизации входящих в названные версии систем автоматизации моделирования подсистем планирования вычислений и введения в них подсистем циклического (по числу этапов ОД) вычисления правых частей системы ОДУ, эквивалентной заданной АСМ. При этом система ОДУ первого порядка целенаправленно восстанавливается по заданной АСМ в результате, названного идентифицирующим, планирования вычислений. Такое планирование вычислений позволяет строить конуса вычислимости относительно входов операторов Д1 Каждый из таких конусов содержит операторы, входящие в правую часть только одного соответствующего разностного уравнения, а следовательно, соответствующего ОДУ первого порядка.

В результате такого планирования вычислений:

• восстанавливается система ОДУ первого порядка, эквивалентная заданной АСМ;
• получается (как следствие предыдущего) вся необходимая информация для практического применения динамических характеристик ОД при исследованиях и направленной коррекции динамических свойств и характеристик АСМ;
• для конечного пользователя АСМ остается в своей классической форме графического представления независимо от сложности введенных в нее ОД.

Последующая модернизация систем автоматизации моделирования направлена на автоматизацию:

• исследования динамических свойств и характеристик АСМ;
• выбора по результатам исследований конкретных ОД-эквивалентов известных РК-методов или более эффективных новых [7] К-методов (предельный порядок точности которых на сегодня ограничен лишь разрядностью современных ЭВМ); и выбора периода дискретности Т, необходимых для обеспечения требуемой адекватности АСМ исходной для нее ДММ или моделируемому объекту.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алгоритмическое моделирование: инструментальные средства и модели/Сб. научи. трудов/Отв. ред. В.В.Иванищев. -СПб.: СПИИРАН, 1992-205с.
2. Вопросы алгоритмического моделирования сложных систем/ Сб. научи. трудов/Отв. ред. В.В.Иванищев.-Л.: ЛИИАН, 1989-235с.
3. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений/Пер. с англ. - М.: Мир, 1988-334с.
4. Иванищев В.В., Марлей В.Е., Морозов В.П. Язык алгоритмических сетей. Препринт №63. - Л.: ЛНИВЦ АН СССР, 1984-37с.
5. Иванищев В.В., Марлей В.Е., Морозов В.П. Система автоматизации моделирования САПФИР-ИСКРА: Основы построения систем. Препринт №99. - Л.: ЛИИАН, 1989.-бЗс.
6. Костельцев В.И. Динамические свойства численных методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Препринт №23. -Л.: ЛИИАН, 1986.-62с.
7. Костельцев А.В., Костельцев В.И. Новый способ построения явных методов дискретизации обыкновенных дифференциальных уравнений/IV Санкт-Петербургская международная конференция "Региональная информатика - 95" ("РИ-95", Санкт-Петербург, 15-18 мая 1995г.): Труды конференции. - СПб.: 1995. с79-85.
8. Костельцев А.В., Костельцев В.И., Юсупов P.M. Возмущения структуры и чувствительность математических моделей динамических объектов при их дискретизации. -В кн. Теоретические основы и прикладные задачи интеллектуальных информационных технологий/Под ред. Р.М.Юсупова.-СПб.: СПИИРАН, 1998. С221-229.
9. Костельцев А.В., Костельцев В.И. Технология оценивания и коррекции динамических свойств и характеристик алгоритмических сетевых моделе // Труды семинара “Компьютерные системы интеллектуальной поддержки моделирования” на выставке ЛЕНЭКСПО “Мир компьютеров” 11-15 мая 1999г. www.lenexpo/ex-we/seminar_SPIIRAN/kos_w97.htm.
10. Левин Л. Методы решения технических задач с использованием аналоговых вычислительных машин/Пер. с англ. - М.: Мир, 1966.
11. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов.-М.:Машиностроение, 1975.-416 с.