Russia, St.-Petersburg,

Institute for Informatics and Automation of the Russian Academy of Science

E-mail: afleg@spiiras.nw.ru

Abstract. Consider general approach to the building of differential complex of nonlinear models and forecasting algorithm, based on solution the inverse problems of symmetry analysis — a building of models with the a priori symmetry. Cite an instance polynomial multivariable models and singular structures in the forms of special functions.

Россия, Санкт-Петербург, Институт информатики и автоматизации РАН,

E-mail: afleg@spiiras.nw.ru

Аннотация. Рассматривается общий подход к построению дифференциального комплекса нелинейных моделей и прогнозирующий алгоритм, основанные на решении обратных задач симметрийного анализа — построении моделей с априорной симметрией. Приводятся примеры полиномиальных многопараметрических моделей и сингулярные структуры в виде специальных функций.

Современный этап развития математического моделирования характеризуется стремлением к максимальной регулярности разрабатываемых алгоритмов и процедур с использованием фундаментальных свойств динамических систем, в частности, симметрий и законов сохранения. К настоящему моменту получили распространение и широко внедряются прогнозирующие алгоритмы, основанные на решении обратных задач симметрийного анализа — построении моделей с априорной симметрией.

Порождаемые модели естественным образом отражают изучаемые процессы и явления с помощью введенных формализмов. Динамические минимальные модели (в трактовке Н.Н. Моисеева) описываются, как правило, одним из векторных дифференциальных уравнений

(1)

Формирование таких моделей существенным образом опирается на симметрийный и структурный анализ и синтез, т.к. знание симметрии уравнений (1) приводит к применению групповых операторов и всему многообразию методов современной теории групп Ли-Беклунда. Возникающие, при этом, генераторы групп преобразований (особенно дискретных) и порождают семейства соизмеримых подобных динамических моделей. А структурное подобие, в свою очередь, позволяет выделить класс структурно-устойчивых моделей в виде определенного D - комплекса.

Для заданных многообразий , , оператора полного дифференцирования D и оператора дискретной симметрии (генератора группы) определим D -комплекс в виде

Последовательное применение операторов полного дифференцирования и симметрии для задач синтеза динамических моделей [3] приводит к следующему алгоритму автогенерации (общий случай):

1. [Представление]. Задание структуры интегрального многообразия над дифференциальным полем алгебраических функций, причем для явной формы достаточно одно образующее соотношений, а для параметрической — два.

2. [Дифференцирование]. Применение оператора полного дифференцирования D к многообразию по независимой переменной или по параметру.

3. [Нормализация]. Исключение произвольных констант. Если задана параметрическая форма представления, то необходимо обратить ее относительно параметра и затем исключить его из системы. Приведение к нормальному виду.

4. [D-генерация]. Построение дифференциальных продолжений и формирование моделей в соответствии с шагами 2 и 3.

5. [-генерация]. Применение генераторов групп к полученным моделям и формирование классов подобных моделей.

Выполнение шага 4 сохраняет все априорные симметрии для получаемых моделей и порождает новые продолженные для каждого k-продолжения. На 5-ом шаге изменяется структура интегральных многообразий получаемых моделей, порожденная на шаге 1 и определяемая тем же полем.

Пример 1. Пусть структура интегрального многообразия при и произвольном имеет вид:

(2)

Используя соотношение

и, применяя цепочку D-генерирующих отображений, получим последовательность моделей вида (1) над интегральными многообразиями , структура которых порождается одним и тем же базисным многообразием (2)

(3)

(4)

В уравнениях (3) - (4) коэффициенты функций согласованны с константами интегрального многообразия (2), a — произвольная функция.

Т.о., получаем как 4-х параметрический класс дифференциальных уравнений 1-го порядка вида (3), допускающий 4-х параметрическое семейство общих решений в виде (2) с функциональным произволом, так и уравнение 5-го порядка (4), разрешимого в виде (2) (уравнение 5.2.6.1 справочника [2]).

Приведенные в виде (3) - (4) модели легко обобщаются на случай произвольного n с заданной структурой (2).

Рассмотрим некоторое семейство моделей полиномиального типа, коэффициенты которых являются полиномами относительно зависимой и независимой переменных [2]. Такие модели представляются в виде , где число свободных параметров в Р и Q определяется структурой и соответствующими параметрами интегрального многообразия. Будем синтезировать такие модели из голоморфного подмножества в параметрическом виде , , где

Применение алгоритма автогенерации приводит к полиномиальным моделям, структура которых отражена в таблице 1.

Пример 2. Рассмотрим некоторые сингулярные структуры интегральных многообразий, к которым приводят особые значения вектора параметров дискретных групп преобразований подкласса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера [1]. Пусть исходная структура интегрального многообразия имеет вид:

(5)

Цепочка D -отображений приводит последовательно к уравнениям

(6)

а при дополнении (5) константами и выполнении условий гладкости, и к

(7)

Таблица 1.

С учетом композиций преобразований сингулярных орбит, в частности вида

(8)

получим остальные элементы D-комплекса. Так, например, для новых переменных , первое из уравнений (6) перейдет в (9)

(9)

ОУЭФ (второе в (6)) и (7) преобразуются в соответствующие уравнения

Аналогичными структурами обладают и подклассы уравнений, решения которых выражаются через функции Бесселя и ряд других интегральных выражений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Л.: ЛИИАН, 1991.240с.
2. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М.: Физматлит, 1995. 5б0с.
3. Флегонтов А.В. Полиномиальные системы в задачах инвариантного анализа и синтеза на многообразиях. В сб. “Теоретические основы и прикладные задачи интеллектуальных информационных технологий”. СПб., СПИИРАН, 1998.- 261-267 с.