Россия, Псков, Псковский политехнический институт

Санкт – Петербургского государственного технического университета

Россия, Санкт – Петербург, Санкт – Петербургский государственный электротехнический университет

Представлен аналитически-численный метод анализа и параметрического синтеза нелинейных неавтономных детерминированных с сосредоточенными параметрами моделей динамических систем. Совместно с согласованной процедурой формирования моделей, специализированными вычислительными алгоритмами и имеющимся программным обеспечением метод составляет единый проблемно-адаптируемый комплекс моделирования.

Прогресс в области вычислительной техники и теории нелинейных явлений, системного анализа и прикладной математики привели к усилению роли математического моделирования в инженерных разработках и научных исследованиях, превратив эту универсальную методологию в основу математизации научно-технического прогресса. По используемым средствам и достигаемым результатам математическое моделирование выступает фактором, объединяющим традиционные методы исследования и новую методологию, позволяя относительно легко и быстро получать необходимую информацию о характере и специфике процессов в динамических системах, делать правильный прогноз и формировать рекомендации, выполнение которых гарантирует достижение поставленной цели.

Одной из основных составляющих технологии моделирования сложных динамических систем является метод расчета сформированных моделей, возможности и особенности которого в значительной степени определяют уровень достоверности получаемых результатов, а также сложность и объем выполняемых при этом вычислений. Существенная нелинейность и нестационарность моделей сложных динамических систем, их объективная жесткость и плохая обусловленность, в совокупности с неоднозначностью и неустойчивостью характера изменения координат обуславливают целый спектр специальных и обязательных требований к используемому методу анализа и синтеза таких моделей. С учетом последних достижений развития качественной теории нелинейных явлений и основных направлений совершенствования методов вычислительной математики разработан одношаговый переменного порядка метод анализа и параметрического синтеза нелинейных неавтономных динамических моделей систем, названный аналитически-численным. Вычислительный алгоритм метода накладывает всего два ограничения на описание собственных свойств моделируемой системы, требуя детерминированности и сосредоточенности параметров ее формируемой модели, включая учитываемые внешние воздействия. Расчетная схема аналитической части метода основывается на аппарате обобщенных функций, обобщенного преобразования Лапласа и функционально-степенных рядов. Численная часть метода реализуется в соответствии с принципом аналитического продолжения регулярной составляющей искомого решения уравнения динамики модели. Процедура выбора шага расчета такова, что обеспечивает в рамках одного неравенства решение сразу всех вопросов, связанных с исследованием существования и единственности искомого решения, возможностью верхней оценки абсолютной локальной и полной погрешностей расчета приближенного решения, согласованием длины шага и скорости изменения регулярной составляющей искомого решения, а также соблюдением условий численной устойчивости. Порядок метода является функцией результата взаимодействия собственных динамических свойств модели и заданного уровня предельной абсолютной локальной погрешности ее аналитически-численного расчета. При необходимости, порядок метода может быть произвольно высок, все время обеспечивая согласованность и сходимость метода. Главное отличие и достоинство разработанного метода состоит в возможности получения на оптимальной сетке по времени не только приближенных решений уравнения динамики анализируемой модели, но и с заданным уровнем предельной абсолютной локальной или полной погрешности расчета областей, содержащие неизвестные точные значения искомых решений этого уравнения. С учетом обращения причинно-следственных связей метод может быть также эффективно использован и для решения в рамках сформированной модели системы задачи ее параметрического синтеза.

С целью расширения возможностей метода на основе его расчетной схемы сформированы проблемно-ориентированные алгоритмы исследования плохо обусловленных моделей, моделей с невыделенной линейной частью и с разрывными дифференцируемыми координатами; расчета жестких моделей и моделей со сложной функциональной нелинейностью; анализа предельных состояний координат выделенного класса неавтономных нестационарных моделей и спектрального состава выделенной линейной части уравнений динамики моделей.

Подводя итог, можно отметить, что аналитически-численный метод, составляя основу комплексного подхода к моделированию сложных динамических систем обладает необходимыми для этого расчетными схемами и вычислительными алгоритмами, а его функциональные возможности позволяют провести всестороннее и полное исследование собственных свойств и особенностей объекта моделирования. Все процедуры и преобразования, сопровождающие процесс моделирования динамических систем, включая формирование их моделей различной степени сложности, направленный перебор, дополнение и аналитически-численный расчет этих моделей, при условии оптимизации объема вычислений на единицу интервала сходимости рядов Тейлора для регулярных составляющих искомых решений, хорошо формализованы и корректным образом согласованы, представляя в совокупности с созданным программным обеспечением единый проблемно-адаптируемый комплекс моделирования.