Санкт-Петербургский Государственный технический университет

Abstract - The author considers a choice of parameters of calculations in one of incorrect problems of creation of model of dynamic system. The initial data for creation of model are the input and output signals of system. The example of such choice is given.

При решении задач анализа и синтеза динамических систем в условиях неопределенности априорной информации часто возникает необходимость определения параметров как отдельных блоков объекта управления и управляющей части, так и всей системы в целом. Подобная проблема возникает, в частности, при разработке математических моделей систем и их фрагментов по полученным реакциям на известные входные воздействия [1]. В этих задачах определению подлежат параметры аппроксимирующего выражения, заданного в одной из взаимосвязанных форм: в виде передаточной функции, системы дифференциальных уравнений, z-передаточной функции, разностных уравнений.

Среди множества подходов к решению подобных задач выделим методы, позволяющие во временной области получить параметры (коэффициенты) каждой из перечисленных выше взаимосвязанных форм представления динамических звеньев. Выбор временной области объясняется универсальностью и простотой беспоисковых алгоритмов определения параметров, получаемых в результате. Основу таких алгоритмов составляют обычные операции линейной алгебры.

Рассмотрим особенности реализации процедур решения рассматриваемых задач на простом примере [2]. Пусть дискретное линейное динамическое звено n-го порядка представлено своими входным сигналом u и выходным сигналом y, значения которых определены через интервал дискретности Т. Пусть также z-передаточная функция звена имеет вид

Ф1 = ; Г1 = M ^-1 d; H1 = |10..0|; M =.

Неизвестные векторы c и d содержат коэффициенты полиномов знаменателя и числителя W(z) соответственно. Нулевой вектор Q и матрица E имеют порядок (n –1). Каноническая реализация Rd₁ = (Ф1, Г1, H1) с матрицами вида (1) может быть образована из любой другой полностью наблюдаемой реализации Rd = (Ф, Г, H) изменением ее базиса пространства состояний с помощью собственной матрицы наблюдаемости Nd реализации Rd [1, 2].

Таким образом, имеем множество результатов измерений y_i , u_i , i = 0,1,2, ... N, которое необходимо использовать для получения 2n элементов вектора g:

g ^T = | - c^T , d^T | ; c^T = | c₁ , c₂ , . . . c_n |; d^T = | d₁ , d₂ , . . . d_n | (2)

и передаточных функций W(p), W(z), а также матриц разностных и дифференциальных уравнений. Процедуры пересчета элементов вектора g в параметры других перечисленных выше форм представления динамического звена основаны на взаимно обратных преобразованиях, которые подробно рассматриваются в [1, 2] и здесь опущены.

Поставленная задача может быть решена с применением ряда подходов, относящихся к классу решений систем линейных алгебраических уравнений. Основой этих подходов служит метод наименьших квадратов в форме обобщенного обращения матриц или в рекуррентной форме. Проблема существования решения и выбора допустимого вида входного сигнала в рассматриваемой задаче обсуждается в [2].

Для получения решения методом наименьших квадратов отметим, что входные и выходные сигналы звена, а также искомый вектор g связаны очевидным соотношением

где вектор g имеет структуру (2).

Измеряя значения входных сигналов и соответствующей выходной реакции системы через q тактов (q = 1,2,3...), получаем систему L уравнений ( L ³ 2n)

.

Решение системы уравнений (22) будем искать в виде

где: - (2n x 1) – вектор оценок искомых параметров по результатам решения L уравнений, - единичная матрица порядка 2n, e - параметр регуляризации, обеспечивающий достижение решения в случае плохой обусловленности матрицы .

Известно, что задачи, аналогичные рассматриваемой, относятся к некорректным математическим задачам, в которых результаты в сильной степени зависят от качества исходных данных, инструментальных ошибок компьютера, методических и трансформированных ошибок вычислений. К подобным задачам относится большинство задач линейной алгебры, связанных с обращением плохо обусловленных матриц, задачи регрессионного анализа, аппроксимации и т.д. В общем случае проблема решения некорректных математических задач не всегда сопряжена с возможностью выработки конструктивных рекомендаций по повышению достоверности получаемых результатов. Общий случай рассмотрения таких задач выходит за рамки настоящего материала. Однако для рассматриваемой задачи могут быть рекомендованы некоторые практические приемы достижения и повышения точности решения. Это объясняется тем, что в задачах оценки параметров динамических систем по заданным входным и выходным сигналам имеются возможности для оценки достоверности получаемых параметров путем сопоставления исходной информации с теми реакциями звена, которые получаются при найденных значениях параметров.

Действительно, определяя вектор параметров g и подставляя его оценку в один из этапов взаимно обратных преобразований [1, 2], можно получить, например, переходную характеристику звена с найденными параметрами и сопоставить ее значения с исходными (или с реакцией исследуемого звена на единичный скачок) на выбранном временном интервале или в отдельных точках на оси времени. Такое же сопоставление может быть проведено и для других входных сигналов.

Ниже без потери общности будем считать известной переходную характеристику звена, для которого решается задача определения параметров в описанной постановке, а звено – устойчивым. Это означает, что известными являются значения у_k в отдельные моменты времени t_k и установившиеся значения y(∞) = p. Эти данные могут быть использованы для контроля качества получаемых оценок и выбора параметров регуляризации. Принципиально для контроля качества результатов и выбора параметров регуляризации в общем случае может быть использована любая унимодальная функция от разности ∆y(∞) между известным и полученными подстановкой в (4) результатов оценки вектора g значениями. Однако функция от ∆y(∞) неприемлема для контроля качества результатов в общем случае. Для контроля качества решений и выбора значений e могут применяться также и другие меры рассогласования полученных решений и исходных (или теоретических) данных, например функции от разностей в отдельных точках на оси времени, на совокупности таких точек в интервале наблюдения и т.д. Следует сказать, что оценка качества по отдельным точкам в диапазоне исследования звена не может служить основой для создания общей процедуры выбора параметров e . Такие оценки могут носить лишь локальный характер и использоваться для экспресс-анализа чувствительности решения к вариациям e .

При выборе параметра регуляризации e представляется целесообразным использовать интегральные критерии. Один из вариантов таких критериев имеет вид

и может применяться для проверки качества оценок, получаемых алгоритмом (5). Здесь z(g) – переходная характеристика звена, параметрами которого являются элементы полученного вектора g; y – заданная переходная характеристика звена; q – весовые коэффициенты; N - максимальное число шагов процесса вычислений (измерений).

Выражение (6) - одна из множества унимодальных функций рассогласования истинного и полученного в результате оценки параметров выходного процесса исследуемого звена на выбранном интервале наблюдения. Весовые коэффициенты q призваны выделить наиболее информативный участок выходных процессов звена. Минимальное значение переменной h при вариации параметра регуляризации в области его определения позволит локализовать наиболее приемлемое значение e для конкретной задачи.

При поиске значения параметр регуляризации ввиду его малости удобно представлять в виде e = (0.1b)10^-a. Алгоритм поиска e в рассматриваемой постановке может быть основан на одном из методов поиска экстремума функций нескольких переменных – градиентном, методе наискорейшего спуска, методе возможных направлений, методе деления отрезка пополам и т.д.

Рис. 1 иллюстрируют процедуру применения критерия (6) при выборе параметра регуляризации в задаче определения вектора g для звена с передаточной функцией

W(p) = (0.5p + 1)/(p³ + 2.5p² + 4p + 1).

a b

Рис.1. Результаты поиска параметра регуляризации (а) и качество результата (b)

На рис. 1,a приведены результаты выбора показателя степени a параметра регуляризации в диапазоне a = 9..11 при b = 10. Из графика (см. рис.1,a) видно, что минимум критерия (6) достигается при a = 10 и равен h ₁₀ = 5.58∙10^-6. Для найденного параметра регуляризации e = 10^-10 с использованием алгоритма (5) был получен вектор g(10) с элементами (1.951, -1.376, 0.368, 0.0368, 0.0162, -0.0146). График, изображенный на рис.1,b, иллюстрирует высокую степень совпадения полученной z[g(10)] и истинной y1 переходных характеристик.

Поиск константы b в диапазоне b = 5..7 при зафиксированном a = 10 позволил найти ее значение b = 6 и, тем самым, уточнить значение параметра регуляризации. При окончательном значении e = 0.6·10^-10 минимум функции (6) по сравнению с полученной ранее величиной h ₁₀ изменился незначительно (h ₆ = 4.1·10^-6). Расчеты проводились в среде MathCAD 7.0 Pro.

Подход, аналогичный описанному, можно применить и к рекуррентной процедуре получения оценок искомого вектора g. При этом в качестве параметра регуляризации можно рассматривать интенсивность R шума измерений. В этой постановке модель измеряемых сигналов будет иметь рекуррентную форму

g k+1 = g _k ; y _k+1 = f_k g k+1 + v _k+1; (7)

В обозначения (7) для большего удобства записи введены незначительные изменения. В уравнении измерений добавлен аддитивный член v _k+1, имитирующий случайную помеху типа дискретного белого шума с нулевым математическим ожиданием и интенсивностью R, выполняющей роль косвенного коэффициента регуляризации итеративного вычислительного процесса оценки вектора g вида [2]

Здесь - единичная матрица порядка 2n, где n – порядок рассматриваемой системы.

Проведенный анализ возможностей повышения точности вычислений в задачах оценки рассматриваемого класса не является исчерпывающим, однако, дает направление и варианты поиска.

1. Ивановский Р.И. Об одном преобразовании в задачах определения параметров непрерывных димических систем // Изв. АН СССР. 1973, № 1, с.180-189.
2. Ивановский Р.И. Компьютерные технологии в науке. Практика применения систем MathCAD 7.0 PrO, MathCAD 8.0 Pro и MathCAD 2000 Pro: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999.