НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В.И. Левин
Пензенский технологический институт
Abstract – The problem of Nonlinear Programming with interval Coefficients is presented. Solution of the problem, based on the comparison of interval Numbers, is given.
Известно множество работ по нелинейному программированию (оптимизации) в условиях точно известных параметров оптимизируемой системы. Однако на практике параметры систем обычно известны неточно и заданы, скажем, в форме интервалов. В статье изложены результаты, которые обобщают основополагающие положения нелинейной условной оптимизации (включая выпуклое программирование) на интервальный случай.
Общая задача нелинейного интервального программирования имеет вид
(1)
где - вектор, а функции цели
и
ограничений
- интервальные
(2)
с нелинейными детерминированными
нижними и верхними граничными функциями. Для
решения задач надо уметь сравнивать
интервальные значения ее целевой функции при
различных аргументах x и
выбирать максимальное (минимальное) значения.
Сравнение интервалов выполним согласно правилу [1]: сдвинутый вправо (влево) интервал -
больший (меньший), совпадающие интервалы равны,
накрывающие друг друга интервалы несравнимы. На
основе этого положения доказывается следующая
базовая теорема.
Теорема 1. Для того чтобы
интервальная функция принимала максимальное
(минимальное) значение в точке x* ее допустимой области, необходимо и
достаточно, чтобы в этой точке принимали
максимальное (минимальное) значения ее нижняя
и верхняя
граничные
функции.
Теорема 1 позволяет сводить интервальные задачи нелинейного математического программирования к двум обычным задачам. Для этого введем две детерминированные задачи нелинейного программирования: нижнюю граничную задачу
(3)
и верхнюю граничную задачу
.(4)
Теорема 2. Для того чтобы интервальная задача нелинейного программирования (1),(2) имела решение x* , необходимо и достаточно, чтобы это же решение имели ее нижняя и верхняя граничные задачи (3),(4).
Теорема 2 сводит решение интервальной задачи нелинейного программирования к решению ее нижней и верхней граничных задач.
Рассмотрим теперь общую выпуклую задачу нелинейного программирования
(5)
-вектор с интервальными функциями
цели
и ограничений
(6)
В этой задаче по определению все
граничные функции вогнутые,а сравнение интервалов
выполняется уже упомянутому выше правилу [1]. Пусть А и В - две детерминированные
задачи нелинейного выпуклого программирования
одинаковой размерности с регулярной допустимой
областью. Назовем функцию Лагранжа этих задач
согласованными, если они имеют хотя бы одну пару
согласованных седловых точек вида
c одинаковой
первой компонентной
. Введем для задачи (5),(6) две
детерминированные выпуклые задачи нелинейного
программирования: нижнюю граничную
(7)
и верхнюю граничную
(8)
Теорема 1. Для того, чтобы выпуклая
интервальная задача нелинейного
программирования (1),(2) с регулярной областью
допустимых решений граничных задач (3),(4) имела
решение , необходимо и достаточно, чтобы ее
нижняя и верхняя граничные задачи имели
согласованные
функции Лагранжа, с согласованной парой седловых
точек вида
.
Теорема 1 сводит решение выпуклой интервальной задачи нелинейного программирования к отысканию седловых точек функций Лагранжа ее нижней и верхней граничных задач.
Введем интервальную функцию Лагранжа
задачи (1),(2) в виде
где нижняя (верхняя) граница
интервала есть функция Лагранжа нижней (верхней)
граничной задачи. Определим седловую точку (X*,A*) интервальной функции Лагранжа в
виде
(9)
Теорема 2. В выпуклой интервальной
задаче нелинейного программирования (5),(6) с
регулярной областью допустимых решений
граничных задач (3),(4) точка является решением тогда и
только тогда, когда существует точка
, такая,
что (Х*,А*) - седловая точка интервальной функции
Лагранжа задачи.
Теорема 2 имеет для выпуклых интервальных задач нелинейного программирования такое же фундаментальное значение, как и теорема Куна-Таккера для детерминированных задач нелинейного программирования: позволяет свести оптимальную задачу с ограничениями к задаче без ограничений.
Литература
1. Левин В.И. Дискретная оптимизация в условиях интервальной неопределенности // Автоматика и телемеханика 1992.№7.
2. Левин В.И. Нелинейная оптимизация в условиях интервальной неопределенности //Кибернетика и системный анализ. 1999. № 2.
Site of Information
Technologies Designed by inftech@webservis.ru. |
|