Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” им. В.И.Ульянова (Ленина)

В настоящее время задача обработки сигналов геолокатора с целью подавления мешающих компонентов является достаточно актуальной при проведении исследования состояния дорожных покрытий, строительных работах и т.п. Обычно для решения этой задачи используется преобразование Фурье, применение которого подразумевает стационарность исследуемого сигнала, в то время как сигналы сверхширокополосного геолокатора являются существенно нестационарными. В данной статье рассматривается применение wavelet-преобразования для решения указанной задачи, т.к. оно не предполагает стационарности исследуемого сигнала.

Новым подходом для решения вышеупомянутых задач является использование техники wavelet-преобразования. Анализ сигналов геолокатора посредством этой техники приводит к представлению исходного одномерного сигнала в виде шкало-временных коэффициетов, причем параметр масштаба (шкалы) может быть интерпретирован как частотный диапазон подлежащий анализу и фильтрации.

Непрерывное wavelet-преобразование определяется как:

это выражение представляет собой свертку сигнала с функцией переводящую сигнал из временной в wavelet-область с базисными функциями:

где и представляют растяжения и сдвиги одной функции (материнской wavelet). Обратное преобразование определяется как:

где . Параметр называют параметром масштаба, а параметр – параметром сдвига. Wavelet-преобразование не уникально в смысле возможности выбора различных материнских wavelet. Однако материнская wavelet должна обладать конечной энергией и ограниченной полосой частот, т.е.:

Подробности могут быть найдены в [1].

Классической реализацией дискретного wavelet-преобразования DWT является алгоритм Маллат [2]. Однако эта реализация обладает неинвариантностью относительно сдвига. И как показано в [3] дискретное wavelet-преобразование может сильно отличаться у сигналов сдвинутых всего на один отсчет. Чтобы обойти этот эффект было предложено использовать wavelet-преобразование инвариантное к сдвигу (TIDWT) [4]. Данное преобразование не предполагает прореживание на каждом уровне масштаба. Показано [4], что вычисление TIDWT может быть осуществлено с помощью алгоритма сложности .

Обозначив максимальный уровень разложения как , TIDWT может быть представлено матрицей размера определяемой как:

где - матрица wavelet-коэффициентов на уровне , - матрица шкалирующих коэффициентов.

Рассмотрим стандартную модель сигнала с аддитивным гауссовским шумом:

,

где - i.i.d. N(0,1). Теоретическое решение проблемы восстановления отсчетов по наблюдениям было разработано Донохо и Джонстоном [6]. Основная идея состоит в рассмотрении шума в области wavelet. Пусть - вектор наблюдений, тогда wavelet-преобразование можно записать как:

В случае ортогонального преобразования компоненты вектора являются i.i.d. N(0,1) случайными переменными. Цель состоит в удалении шума в области wavelet, т.е. нахождении оператора, переводящего компоненту в ноль. Донохо и Джонстон показали, что этим оператором является:

Следовательно, получаемая оценка строится следующим образом:

Однако, так как матрица , соответствующая wavelet-преобразованию инвариантному относительно сдвига, не является квадратной и, следовательно, преобразование не является ортогональным, следует учитывать структуру корреляционной зависимости wavelet коэффициентов, что приводит [5] к следующей величине порога:

Подавление сигнала отражения от поверхности осуществляется за счет обнуления соответствующих коэффициентов wavelet-разложения. Причем, коэффициенты подлежащие обнулению выбираются адаптивно на основании анализа расположения нулей функции wavelet-разложения на данном уровне масштаба.

На рис.2 приведен пример подавления мешающих компонентов для 45-й реализации сигнала, взятой из кадра реализаций, изображенных на рис.1. На рис.3 изображен кадр реализаций после подавления мешающих компонент. Во всех экспериментах использовалась wavelet-функция Добеши с параметром 4.

1. Daubechies, I., Ten lectures on wavelets: CBMS-NSF Ser. Appl. Math., 1992
2. Mallat, S., A theory for multiresolution signal decomposition: The wavelet representation: IEEE Trans. Patt. Anal. Machine Intell., 11, 674-693, 1989
3. Lang, M., Guo, H., Odegard J.E., Burrus C.S., Wells Jr, R.O., Noise reduction using an undecimated discrete wavelet transform. IEEE Signal Processing Letters, 3:10-12, 1996
4. Shensa, M.J., The discrete wavelet transform: wedding the a trous and Mallat algorithms. IEEE Trans. Sig. Proc., 40(10), 2464-2482, 1992.
5. Berkner K., Wells Jr., R.O., A correlation-dependent model for denoising via nonorthogonal wavelet transforms, CML TR 98-07, Rice University, 1998
6. Donoho D.L. De-noising by soft-thresholding, IEEE Trans. on Inform. Theory, 41(3):613-627, 1995