В этих задачах определению подлежат параметры аппроксимирующего выражения, заданного в одной из взаимосвязанных форм: в виде передаточной функции, систе-мы дифференциальных уравнений, z-пере-даточной функции, разностных уравнений.

W(z) = H1·(z•E_n - Ф1) ^{- 1} • Г1; (1)

Ф1 = ; Г1 = M ^-1 d; H1 = |10..0|;

M =.

Неизвестные векторы c и d содержат коэффициенты полиномов знаменателя и числителя W(z) соответственно. Нулевой вектор Q и матрица E имеют порядок (n –1). Каноническая реализация Rd₁ = (Ф1, Г1, H1) с матрицами вида (1) может быть образована из любой другой полностью наблюдаемой реализации Rd = (Ф, Г, H) изменением ее базиса пространства состоя-ний с помощью собственной матрицы на-блюдаемости Nd реализации Rd [1, 2].

Таким образом, имеем множество ре-зультатов измерений y_i , u_i , i = 0,1,2, ... N, которое необходимо использовать для получения 2n элементов вектора g:

g^T = | - c^T , d^T | ; (2)

c^T = | c₁ , c₂ , . . . c_n |; d^T = | d₁ , d₂ , . . . d_n |

и передаточных функций W(p), W(z), а также матриц разностных и дифференци-альных уравнений. Процедуры пересчета элементов вектора g в параметры других перечисленных выше форм представления динамического звена основаны на взаимно обратных преобразованиях, которые под-робно рассматриваются в [1, 2] и здесь опущены.

Для получения решения методом наи-меньших квадратов отметим, что входные и выходные сигналы звена, а также искомый вектор g связаны очевидным соотношением

(3)

Измеряя значения входных сигналов и соответствующей выходной реакции системы через q тактов (q = 1,2,3...), получаем систему L уравнений ( L ? 2n)

; (4)

.

, (5)

где: - (2n x 1) – вектор оценок искомых параметров по результатам решения L урав-нений, - единичная матрица порядка 2n, e - параметр регуляризации, обеспечиваю-щий достижение решения в случае плохой обусловленности матрицы .

Известно, что задачи, аналогичные рас-сматриваемой, относятся к некорректным математическим задачам, в которых резуль-таты в сильной степени зависят от качества исходных данных, инструментальных ошибок компьютера, методических и трансформированных ошибок вычислений. К подобным задачам относится большинство задач линейной алгебры, связанных с обращением плохо обуслов-ленных матриц, задачи регрессионного анализа, аппроксимации и т.д. В общем случае проблема решения некорректных математических задач не всегда сопряжена с возможностью выработки конструктивных рекомендаций по повышению достоверно-сти получаемых результатов. Общий случай рассмотрения таких задач выходит за рамки настоящего материала. Однако для рассмат-риваемой задачи могут быть рекомен-дованы некоторые практические приемы до-стижения и повышения точности решения. Это объясняется тем, что в задачах оценки параметров динамических систем по заданным входным и выходным сигналам имеются возможности для оценки досто-верности получаемых параметров путем сопоставления исходной информации с теми реакциями звена, которые получаются при найденных значениях параметров.

Действительно, определяя вектор пара-метров g и подставляя его оценку в один из этапов взаимно обратных преобразований [1, 2], можно получить, например, переход-ную характеристику звена с найденными параметрами и сопоставить ее значения с исходными (или с реакцией исследуемого звена на единичный скачок) на выбранном временном интервале или в отдельных точ-ках на оси времени. Такое же сопоставление может быть проведено и для других входных сигналов.

Ниже без потери общности будем считать известной переходную характери-стику звена, для которого решается задача определения параметров в описанной постановке, а звено – устойчивым. Это означает, что известными являются установившиеся значения y(?) = p и значения у_k в отдельные моменты времени t_k. Эти данные могут быть использованы для контроля качества получаемых оценок и выбора параметров регуляризации. Принципиально для контроля качества результатов и выбора параметров регуляри-зации в общем случае может быть исполь-зована любая унимодальная функция от разности ?y(?) между известным (или теоретическим) значением y(?) и значением p(g), полученным подстановкой в (4) результатов оценки вектора g. Однако функция от ?y(?) неприемлема для контроля качества результатов, например, при учете в алгоритме получения g допол-нительных данных в виде значений y(?) = p, поскольку получаемое вариацией e мно-жество вариантов решений будет характе-ризоваться как раз тем, что все решения имеют одинаковые установившиеся значе-ния переходных характеристик, равные р [2]. Поэтому функции этого типа могут использоваться для частичного контроля качества результатов лишь в задачах, в решении которых не учитываются известные y(?).

Для контроля качества решений и выбора значений e могут применяться также и другие меры рассогласования полученных решений и исходных (или теоретических) данных, например функции от разностей в отдельных точках на оси времени, на совокупности таких точек в интервале наблюдения и т.д. Следует сказать, что оценка качества по отдельным точкам в диапазоне исследования звена не может служить основой для создания процедуры выбора параметров e . Такие оценки могут носить лишь локальный характер и использоваться для экспресс-анализа чув-ствительности решения к вариациям e .

(6)

и может применяться для проверки качества оценок, получаемых алгоритмом (5). Здесь z(g) – переходная характеристика звена, параметрами которого являются элементы полученного вектора g; y – заданная переходная характеристика звена; q – весовые коэффициенты; N - максимальное число шагов процесса вычислений (измерений).

При поиске значения параметр регуля-ризации ввиду его малости удобно пред-ставлять в виде e = (0.1b)10^-a. Алгоритм поиска e в рассматриваемой постановке мо-жет быть основан на одном из методов по-иска экстремума функций нескольких пере-менных – градиентном, методе наискорей-шего спуска, методе возможных направле-ний, методе деления отрезка пополам и т.д.

Рис. 1 и 2 иллюстрируют процедуру применения критерия (6) при выборе пара-метра регуляризации в задаче определения вектора g для звена с передаточной функцией

W(p) = (0.5p + 1)/(p³ + 2.5p² + 4p + 1).

На рис. 1 приведены результаты выбора показателя степени a параметра регуляриза-ции в диапазоне a = 9..11 при b = 10. Из графика (см. рис.1) видно, что минимум критерия (6) достигается при a = 10 и равен h = 5.58•10^-6. Для найденного параметра регуляризации e = 10^-10 с использованием алгоритма (5) был получен вектор g(10) с элементами (1.951, -1.376, 0.368, 0.0368, 0.0162, -0.0146). График, изображенный на рис.2, иллюстрирует высокую степень совпадения полученной z[g(10)] и истинной y1 переходных характеристик.

Поиск константы b в диапазоне b = 5..7 при зафиксированном a = 10 позволил най-ти ее значение b = 6 и, тем самым, уточнить значение параметра регуляризации. При окончательном значении e = 0.6·10^-10 минимум функции (6) (h ₆ = 4.1·10^-6) по сравнению с полученной ранее величиной h ₁₀ изменился незначительно. Расчеты проводились в среде MathCAD 7.0 Pro.

Подход, аналогичный описанному, можно применить и к рекуррентной процедуре получения оценок искомого вектора g. При этом в качестве параметра регуляризации можно рассматривать интенсивность R шума измерений. В этой постановке модель измеряемых сигналов будет иметь рекуррентную форму

g k+1 = g _k ; y _k+1 = f _k g k+1 + v _k+1; (7)

.

В обозначения (7) для большего удоб-ства записи введены незначительные изме-нения. В уравнении измерений добавлен аддитивный член v _k+1, имитирующий слу-чайную помеху типа дискретного белого шума с нулевым математическим ожидани-ем и интенсивностью R, выполняющей роль косвенного коэффициента регуляризации итеративного вычислительного процесса оценки вектора g вида [2]

Здесь - единичная матрица порядка 2n, где n – порядок рассматриваемой системы.

1. Ивановский Р.И. Об одном преобразовании в за-дачах определения параметров непрерывных димических систем // Изв. АН СССР. 1973, № 1, с.180-189.
2. Ивановский Р.И. Компьютерные технологии в науке и образовании. Практика применения систем MathCAD 7.0 PrO и MathCAD 8.0 Pro: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999.