В работе [1] предложено в качестве признаков распознавания изображений использовать вероятности геометрических событий, под которыми понимают результат взаимодействия геометрических объектов: пересечения, покрытия и т. п. Роль геометрических объектов выполняют, с одной стороны, сложные траектории сканирования со случайными параметрами (отрезки, линии, кривые, фигуры и т. п.), с другой — фрагменты распознаваемого изображения. Рассматривается структура подобных распознающих систем, примеры конкретных технических реализаций. Рассмотрены также возможные расширения базисного метода распознавания, основанного на стохастической геометрии. Одно из расширений связано с усложнением наблюдений случайного события — пересечения линии развертки с изображением, т. е. с применением более сложных признаков распознавания.

Рассмотрим входную сетчатку распознающего устройства, под которой будем понимать сканируемую часть плоскости изображения. В этой части плоскости располагается некоторое изображение, тогда как оставшаяся часть плоскости — фоновая. Таким образом, изображение финитно. Рассмотрим случайную прямую , которая может пересекать изображение. Предположим, что пересечение прямой и изображения позволяет нам вычислить некоторое число , характеризующее их взаимное расположение. Производя серию случайных бросаний прямой на плоскость, получаем выборку для случайной величины . Далее, можно определить какую-нибудь эмпирическую характеристику случайной величины . Описанную процедуру следует реализовать в радиоэлектронной системе, осуществляющей распознавание изображений [1].

1. Рассмотрим изображение в виде кусочно-дифференцируемой кривой, которая может быть границей фигуры. Пусть — число пересечений этой кривой со случайной прямой . Тогда математическое ожидание пропорционально длине кривой.

2. Рассмотрим изображение в виде выпуклой фигуры. Это может быть выпуклая оболочка некоторой другой фигуры. Пусть — длина пересечения выпуклой фигуры со случайной прямой . Тогда средние величины , и пропорциональны соответственно периметру, площади и собственному потенциалу однородного слоя.

Тгасе-преобразование. Приведенные выше формулы и их многочисленные аналоги имеют для распознавания образов следующие недостатки: 1) число этих формул ограничено, поскольку ясно выраженных геометрических характеристик не так много, а признаков требуются тысячи и более; 2) формулы применимы только для бинарных изображений. К достоинствам следует отнести возможности параллельных вычислений (одновременно обрабатывается несколько прямых сразу) и стохастической реализации, последнее позволяет оборвать процесс при достижении нужной точности, кроме того, вычисленные признаки не зависят от движений объектов. Известно, что обычно признаки сильно зависят от поворота и сдвига объекта, в то время как во многих задачах распознавания поворот и сдвиг объектов совершенно неинформативны.

Обозначим буквой финитное изображение. Если дана прямая , то число , характеризующее взаимное расположение прямой и изображения, будем вычислять согласно некоторому правилу T: ; отображение будем называть функционалом. Для нас желаемым свойством является независимость вычислений от движения объекта, поэтому единственное требование, которое мы накладываем на , формулируется следующим образом. Пусть изображение претерпело сдвиг и поворот, при этом возникло новое изображение . При этом же сдвиге и повороте прямая перейдет в прямую , оставаясь, таким образом, “вмороженной” в изображение. Требуется, чтобы . Это равенство должно быть верным для всех прямых и всех допустимых изображений. Такое свойство назовем полной инвариантностью функционала . Следует отметить, что понятие полной инвариантности весьма сильно расширяет возможности распознавания образов, ибо это не обязательно число пересечений, длина секущей и т. д. Например, если изображение цветное, переменной яркости, то таких функционалов можно найти довольно много. Итак, круг функционалов и обрабатываемых изображений значительно расширен.

Чтобы понять, что предложенное обобщение в некотором смысле исчерпывает все его возможности, изложим теорию Тгасе-преобразований (или Тг-преобразований). Прямая , если введены полярные координаты на плоскости, характеризуется расстоянием от начала координат до нее и углом (с точностью до 2) ее направляющего вектора:

, ,

где , — декартовы координаты на плоскости. Если позволить параметру принимать также и отрицательные значения, то

.

при условии, что параметры и задают одну прямую. Видно, что множество прямых на сетчатке есть в топологическом смысле не что иное, как лист Мебиуса [2]. Множество чисел , зависящее от точки на листе Мебиуса , есть некоторое преобразование изображения, которое назовем Тг-преобразованием. Если, например, при численном анализе Тг-преобразование представлено матрицей, то будем называть ее Тг-матрицей. Если направить ось горизонтально, а ось вертикально, то в точке , , будет расположен элемент матрицы с номером , т. е. значение . Здесь , — некоторые значения равномерных дискретных сеток на указанных осях. Матрица будет 2-периодична в направлении горизонтальной оси, причем через каждый интервал длины столбцы ее переворачиваются.

Будем считать дополнительно, что если прямая не пересекает изображения, то есть заданное число (например, 0), или другой фиксированный элемент, если функционал нечисловой. В этом случае первоначальному изображению соответствует Tr () — новое изображение (можно трактовать как изображение, характеристики которого в точке — его Тг-образ.)

Рис. 1.а объясняет вычисление Trace - преобразования. Здесь показано получение бинарной функции действительной переменной при сканировании прямой . Функция равна 1 в интервалах и , и принимает значение 0 для других. Рассмотрим функционал T от данной функции, и в качестве независимой переменной определим . Таким образом, мы получаем T. Мы называем функцию g результатом Trace - преобразованием (Trace - transform). Например, функционал T может быть максимальным значением в области определения функции . На рис.1.а, это величина . Если мы определим аналогичный функционал Tдля всех прямых, сканирующих Японский иероглиф на рис. 1.a, при различных углах и различных расстояниях, мы получим Trace - матрицу (рис.1.б).

Кратко остановимся на том, как меняется изображение при сдвигах и вращениях исходного изображения . Если первоначальное изображение поворачивается, то его Тг-образ сдвигается по горизонтальной оси . Если же происходит сдвиг исходного изображения на некоторый вектор, то его Тг-образ претерпевает следующие преобразования. Лучше их изложить в терминах Тг-матриц. Столбцы остаются неизменными, на своих местах, но могут сдвигаться вверх или вниз. Вектор сдвига определяет числа и такие, что столбец с координатой , сдвигается в вертикальном направлении на . Следует отметить, что вполне строгим это описание будет лишь в том случае, если Tr - матрицу считать непрерывной, т. е. и — непрерывные параметры.

Рис.2

Рис.3

Рис.4

Обычная евклидова мера листа Мебиуса инвариантна к указанным преобразованиям, поэтому плотность распределения всякой функции, заданной на листе Мебиуса, в данном случае функции изображения Tr(F ), не зависит от указанных преобразований, т.е. если изображение сдвинуто и повернуто до состояния , то распределения значений функций изображений и одинаковы. Именно поэтому их значения могут трактоваться как случайные функции, не зависящие от движений исходного изображения. Этим доказано, что при данном выше обобщении признаков, действительно, сохраняется инвариантность.

Рис.5

Рис.6

.

Каждый функционал (, и ) действует на функции одной переменной (, и ) соответственно. Для каждого из трех функционалов легко можно придумать десятки разных конкретизаций, удовлетворяющих требуемым условиям. Следовательно, сразу получаем тысячи новых признаков, инвариантных к движениям.

Функционал , соответствующий Тг-преобразованию, подробно рассмотрен выше. В дискретном варианте вычислений результат этого преобразования, или Тг-трансформанта Т(Р° 1(<р, р, ?)), представляет собой матрицу, элементами которой являются, например, значения яркости изображения пересечениях со сканирующей линией 1(<р, р). Параметры сканирующей линии р определяют позицию этого элемента в матрице. Последующее вычисление признака заключается в последовательной обработке столбцов матрицы с помощью функционала , который мы называем диаметральным функционалом. Функционал "Norm", стандартная евклидова норма функции был использован нами в качестве диаметрального, в качестве другого примера диаметрального функционала можно привести функционал, который называем "Max". Это - максимальная величина функции в столбце Trace -матрицы; и "Mid" функционал. Это – стандартный центр тяжести масс, вычисленный следующим образом:

Следующий этап должен выполнить преобразования на кривой с помощью функционала, который мы называем круговым. Функционал "Log" был использован в качестве варианта кругового функционала :