БАЙЕСОВСКАЯ МОДЕЛЬ ОБРАБОТКИ
НЕЧИСЛОВОЙ, НЕТОЧНОЙ И НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ О
ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТАХ
В.В. Корников, И.А. Серегин, Н.В. Хованов
Санкт-Петербургский государственный
университет
Abstract – A method for non-numeric,
non-exact and non-complete information (nnn-information) treatment is proposed. The
method is based on Thomas Bayes' conception, which may be named "randomization of
uncertainty". In accordance with this conception an uncertain choice of a weight-vector
,
,
, from a fixed set
is modeled by a random choice which leads to a
random weight-vector
distributed on the
set
. The set
being determined by a nnn-information
, the vector
, where
,
, are mathematical expectations of the
corresponding randomized weight-coefficients, may be treated as a "numeric
image of nnn-information
". Some
applications of these models and conceptions to decision-making under uncertainty are
demonstrated.
Во многих задачах теории принятия
решений при неопределенности фигурируют так
называемые весовые коэффициенты,
представляющие собой неотрицательные величины
,
связанные нормирующим соотношением
. Иными
словами, вектор весовых коэффициентов
("весовой вектор", "вектор весов")
представляет собой точку
-мерного симплекса
, лежащего
в
-мерном
евклидовом пространстве
.
Мы будем ориентироваться на следующие
три основные задачи теории принятия решений,
связанные с применением весовых коэффициентов.
- Задача построения сводного показателя
качества
, определяемого каким-либо
обобщенным средним
,
где
- вектор отдельных
показателей качества,
- непрерывная строго
возрастающая функция, а
- функция, обратная к
функции
[1]. В этом случае весовой коэффициент
есть мера
относительной значимости отдельного показателя
для
сводной оценки
.
Задача распределения единичного ресур-
са по
позициям с оценкой варианта
распределения по формуле
,
где
- эффективность
единицы ресурса, распределенного на
-ю позицию.
В этом случае весовой коэффициент
указывает долю единичного ресурса,
распределенного на
-ю позицию. В частности,
можно
интерпретировать как ожидаемую доходность
денежной единицы, вложенной в
-й финансовый
инструмент, а
- как долю общего объема инвестиций,
приходящуюся на этот финансовый инструмент.
Тогда
есть ожидаемый доход всего
инвестиционного портфеля [2].
Задача определения вероятности некоторого
события
по известной формуле полной
вероятности
, где
- вероятность события
при
условии, что произошло альтернативное событие
(
,
,
). В этом случае весов-
вой коэффициент
есть вероятность
-й
альтернативы
[3].
Все три указанные задачи приходится
решать, как правило, в условиях дефицита
числовой информации о весовых коэффициентах
. Дело в
том, что обычно исследователь обладает лишь нечисловой
информацией о весовых коэффициентах,
выражаемой сравнительными суждениями типа
"отдельный показатель
более важен для
определения сводной оценки качества, чем
отдельный показатель
", "в
-й финансовый
инструмент надо инвестировать меньше денег, чем
в
-й
финансовый инструмент", "вероятность
альтернативы
практически равна вероятности
альтернативы
" и т.п. Такая ординальная
(порядковая) информация может быть
представлена в виде системы
равенств и
неравенств для соответствующих весовых
коэффициентов. Аналогично, неточная
(интервальная) информация о весовых
коэффициентах может быть представлена в виде
системы
неравенств, определяющих границы
интервалов
,
, варьирования
соответствующих весовых коэффициентов.
Учитывая, что зачастую не для всех весовых
коэффициентов
удается задать равенства и
нетривиальные неравенства, ограничивающие
область их варьирования, можно сказать, что в
подобных случаях мы имеем дело с неполной
информацией о весовых коэффициентах. Такая нечисловая,
неточная и неполная информация (ннн-информация)
о весовых
коэффициентах
хотя и сужает область допустимых
весовых векторов
с исходного симплекса
до
некоторого его подмножества
, но не может, как
правило, однозначно выделить единственный
вектор весовых коэффициентов
. Иными словами имеет
место неопределенность (дефицит числовой
информации о весовых коэффициентах) - вектор
весовых коэффициентов известен лишь "с
точностью до множества
", содержащего не менее
двух элементов.
Следуя известной работе Томаса Байеса,
посмертно опубликованной в "Трудах
Королевского общества" в 1763 году, будем
моделировать неопределенность выбора
конкретного вектора весовых коэффициентов
из
множества всех допустимых весовых векторов
при
помощи рандомизированного (случайного) вектора
весовых коэффициентов
, задаваемого при помощи
некоторого вероятностного распределения на
множестве
[4]. Тогда в качестве искомой оценки
-го весового коэффициента можно
взять, например, математическое ожидание
соответствующего рандомизированного весового
коэффициента
. Теперь вектор полученных оценок
можно
интерпретировать как числовой образ
ннн-информации
. Мерой точности оценки
может
служить стандартное отклонение
-го случайного весового
коэффициента.
В качестве вероятностного
распределения, моделирующего полное отсутствие
у исследователя информации о значениях весовых
коэффициентов (
), можно использовать, следуя,
например, принципу максимальной энтропии [5], равномерное распределение на
симплексе
. Тогда получаем естественные оценки
весовых коэффициентов
и стандартные отклонения

где
есть случайная величина
, имеющая
бета-распределение с параметрами
,
.
Посмотрим, как влияет на оценки
весовых коэффициентов наличие у исследователя
нечисловой (ординальной) информации
,
представляющей собой систему неравенств
.
Представим эту систему в виде совокупности
следующих цепочек неравенств:
, где
.
Координаты
вершины симплекса
задаются формулой
при
;
при
. Эти же вершины
составляют столбцы матрицы
аффинного
преобразования, переводящего симплекс
в
симплекс
. Отсюда получаем искомые оценки
, весовых
коэффициентов и довольно громоздкие формулы для
стандартных отклонений
,
[1].
Попробуем теперь учесть неточную
(интервальную) информацию, задаваемую системой
неравенств
. Заметим, что границы интервалов
варьирования весовых коэффициентов должны быть
предварительно согласованы. Действительно,
нетрудно показать, что из неравенств
,
, следуют неравенства
, где
; а из
неравенств
,
-
неравенства
, где
. Поэтому согласованные границы
интервалов варьирования весовых коэффициентов
определяются формулами
,
.
Случайный вектор
, равномерно
распределенный на симплексе
, состоящем из
векторов весовых коэффициентов, удовлетворяющих
системе неравенств
, можно получить в результате
преобразований
,
,
компонент вектора
, равномерно распределенного на
симплексе
. Отсюда имеем искомые оценки
весовых коэффициентов
и стандартные отклонения
,
.
Итак, изложенная стохастическая
байесовская модель неопределенности задания
весовых коэффициентов позволяет использовать
нечисловую, неточную и неполную информацию
(
,
,
) для получения числовых
оценок
,
, этих
коэффициентов и для вычисления стандартных
отклонений
,
, служащих
показателями точности полученных оценок. В
результате исследователь имеет числовой образ
нечисловой,
неточной и неполной информации
, точность
которого определяется вектором стандартных
отклонений
.
Подстановка рандомизированного
вектора весовых коэффициентов
вместо
детерминированного вектора
в формулу для
сводного показателя качества
дает
рандомизированный сводный показатель качества
,
синтезирующий как информацию о значениях
отдельных показателей
, так и ннн-информацию
о
значимости этих отдельных показателей качества.
Тем самым, задача сравнения многокритериальных
оценок
,
качества
двух сложных объектов сводится к задаче
выявления какого-либо вида стохастического
доминирования между двумя случайными величинами
,
соответственно [3,6].
Аналогично, подстановка
рандомизированного вектора весовых
коэффициентов
в оценку варианта распределения
ресурса
(в оценку
вероятности события
)
порождает рандомизированную оценку варианта
распределения
(рандомизированную оценку
вероятности события
).
Описанная стохастическая байесовская
модель обработки нечисловой, неточной и неполной
информации о весовых коэффициентах служит
основой для так называемого АСПИД-метода (АСПИД -
аббревиатура для "Анализ и Синтез Показателей
при Информационном Дефиците"), реализованного
на ПЭВМ в виде оболочки системы поддержки
принятия решений (ОСППР) АСПИД-3
W [7]. Эта ОСППР нашла широкое применение
для решения разнообразных задач оценки
эффективности и качества многопараметрических
объектов различной природы и назначения (сложных
технических систем, вариантов организационных и
управленческих решений высокого уровня,
коммерческих банков, страховых компаний,
инвестиционных проектов и т.д.) (см., например, [1,3]).
Литература
Хованов Н.В. Анализ и синтез показателей при
информационном дефиците. СПб., 1996.
Первозванский А.А., Первозванская Т.Н.
Финансовый рынок: расчет и риск. М., 1994.
Хованов Н.В. Математические модели риска и
неопределенности. СПб., 1998.
Bayes Th. An essay towards solving a problem in the doctrine of chances // Biometrika.
1958. Vol.45. N3-4.
Levin R. (ed). The Maximum Entropy Formalism. Cambridge, 1979.
Bawa V. Stochastic dominance: a research bibliography // Management Sci. 1981. Vol.28.
Хованов К.Н., Хованов Н.В. Программа для ЭВМ
АСПИД-3W.
Свидетельство РосАПО №960087. 1996.