Во многих задачах теории принятия решений при неопределенности фигурируют так называемые весовые коэффициенты, представляющие собой неотрицательные величины , связанные нормирующим соотношением . Иными словами, вектор весовых коэффициентов ("весовой вектор", "вектор весов") представляет собой точку -мерного симплекса , лежащего в -мерном евклидовом пространстве .

1. Задача построения сводного показателя

качества , определяемого каким-либо обобщенным средним

,

где - вектор отдельных показателей качества, - непрерывная строго возрастающая функция, а - функция, обратная к функции [1]. В этом случае весовой коэффициент есть мера относительной значимости отдельного показателя для сводной оценки .

2. Задача распределения единичного ресур-

са по позициям с оценкой варианта распределения по формуле

,

где - эффективность единицы ресурса, распределенного на -ю позицию. В этом случае весовой коэффициент указывает долю единичного ресурса, распределенного на -ю позицию. В частности, можно интерпретировать как ожидаемую доходность денежной единицы, вложенной в -й финансовый инструмент, а - как долю общего объема инвестиций, приходящуюся на этот финансовый инструмент. Тогда есть ожидаемый доход всего инвестиционного портфеля [2].

3. Задача определения вероятности некоторого события по известной формуле полной вероятности , где - вероятность события при условии, что произошло альтернативное событие (, ,

вой коэффициент есть вероятность -й альтернативы [3].

Все три указанные задачи приходится решать, как правило, в условиях дефицита числовой информации о весовых коэффициентах . Дело в том, что обычно исследователь обладает лишь нечисловой информацией о весовых коэффициентах, выражаемой сравнительными суждениями типа "отдельный показатель более важен для определения сводной оценки качества, чем отдельный показатель ", "в -й финансовый инструмент надо инвестировать меньше денег, чем в -й финансовый инструмент", "вероятность альтернативы практически равна вероятности альтернативы " и т.п. Такая ординальная (порядковая) информация может быть представлена в виде системы равенств и неравенств для соответствующих весовых коэффициентов. Аналогично, неточная (интервальная) информация о весовых коэффициентах может быть представлена в виде системы неравенств, определяющих границы интервалов , , варьирования соответствующих весовых коэффициентов. Учитывая, что зачастую не для всех весовых коэффициентов удается задать равенства и нетривиальные неравенства, ограничивающие область их варьирования, можно сказать, что в подобных случаях мы имеем дело с неполной информацией о весовых коэффициентах. Такая нечисловая, неточная и неполная информация (ннн-информация) о весовых коэффициентах хотя и сужает область допустимых весовых векторов с исходного симплекса до некоторого его подмножества , но не может, как правило, однозначно выделить единственный вектор весовых коэффициентов . Иными словами имеет место неопределенность (дефицит числовой информации о весовых коэффициентах) - вектор весовых коэффициентов известен лишь "с точностью до множества ", содержащего не менее двух элементов.

Следуя известной работе Томаса Байеса, посмертно опубликованной в "Трудах Королевского общества" в 1763 году, будем моделировать неопределенность выбора конкретного вектора весовых коэффициентов из множества всех допустимых весовых векторов при помощи рандомизированного (случайного) вектора весовых коэффициентов , задаваемого при помощи некоторого вероятностного распределения на множестве [4]. Тогда в качестве искомой оценки -го весового коэффициента можно взять, например, математическое ожидание соответствующего рандомизированного весового коэффициента . Теперь вектор полученных оценок можно интерпретировать как числовой образ ннн-информации . Мерой точности оценки может служить стандартное отклонение -го случайного весового коэффициента.

В качестве вероятностного распределения, моделирующего полное отсутствие у исследователя информации о значениях весовых коэффициентов (), можно использовать, следуя, например, принципу максимальной энтропии [5], равномерное распределение на симплексе . Тогда получаем естественные оценки весовых коэффициентов и стандартные отклонения

где есть случайная величина , имеющая бета-распределение с параметрами , .

Посмотрим, как влияет на оценки весовых коэффициентов наличие у исследователя нечисловой (ординальной) информации , представляющей собой систему неравенств . Представим эту систему в виде совокупности следующих цепочек неравенств: , где . Координаты вершины симплекса задаются формулой при ; при . Эти же вершины составляют столбцы матрицы аффинного преобразования, переводящего симплекс в симплекс . Отсюда получаем искомые оценки , весовых коэффициентов и довольно громоздкие формулы для стандартных отклонений , [1].

Попробуем теперь учесть неточную (интервальную) информацию, задаваемую системой неравенств . Заметим, что границы интервалов варьирования весовых коэффициентов должны быть предварительно согласованы. Действительно, нетрудно показать, что из неравенств , , следуют неравенства , где ; а из неравенств , - неравенства , где . Поэтому согласованные границы интервалов варьирования весовых коэффициентов определяются формулами , .

Случайный вектор , равномерно распределенный на симплексе , состоящем из векторов весовых коэффициентов, удовлетворяющих системе неравенств , можно получить в результате преобразований , , компонент вектора , равномерно распределенного на симплексе . Отсюда имеем искомые оценки весовых коэффициентов и стандартные отклонения , .

Итак, изложенная стохастическая байесовская модель неопределенности задания весовых коэффициентов позволяет использовать нечисловую, неточную и неполную информацию (, , ) для получения числовых оценок , , этих коэффициентов и для вычисления стандартных отклонений , , служащих показателями точности полученных оценок. В результате исследователь имеет числовой образ нечисловой, неточной и неполной информации , точность которого определяется вектором стандартных отклонений .

Подстановка рандомизированного вектора весовых коэффициентов вместо детерминированного вектора в формулу для сводного показателя качества дает рандомизированный сводный показатель качества , синтезирующий как информацию о значениях отдельных показателей , так и ннн-информацию о значимости этих отдельных показателей качества. Тем самым, задача сравнения многокритериальных оценок , качества двух сложных объектов сводится к задаче выявления какого-либо вида стохастического доминирования между двумя случайными величинами , соответственно [3,6].

Аналогично, подстановка рандомизированного вектора весовых коэффициентов в оценку варианта распределения ресурса (в оценку вероятности события ) порождает рандомизированную оценку варианта распределения (рандомизированную оценку вероятности события ).

Описанная стохастическая байесовская модель обработки нечисловой, неточной и неполной информации о весовых коэффициентах служит основой для так называемого АСПИД-метода (АСПИД - аббревиатура для "Анализ и Синтез Показателей при Информационном Дефиците"), реализованного на ПЭВМ в виде оболочки системы поддержки принятия решений (ОСППР) АСПИД-3W [7]. Эта ОСППР нашла широкое применение для решения разнообразных задач оценки эффективности и качества многопараметрических объектов различной природы и назначения (сложных технических систем, вариантов организационных и управленческих решений высокого уровня, коммерческих банков, страховых компаний, инвестиционных проектов и т.д.) (см., например, [1,3]).

1. Хованов Н.В. Анализ и синтез показателей при информационном дефиците. СПб., 1996.
2. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М., 1994.
3. Хованов Н.В. Математические модели риска и неопределенности. СПб., 1998.
4. Bayes Th. An essay towards solving a problem in the doctrine of chances // Biometrika. 1958. Vol.45. N3-4.
5. Levin R. (ed). The Maximum Entropy Formalism. Cambridge, 1979.
6. Bawa V. Stochastic dominance: a research bibliography // Management Sci. 1981. Vol.28.
7. Хованов К.Н., Хованов Н.В. Программа для ЭВМ АСПИД-3W. Свидетельство РосАПО №960087. 1996.