Пусть – разнотипный набор переменных; – множество допустимых значений переменной (все предполагаются ограниченными); – пространство значений, а – кортеж значений переменных.

Пусть зафиксировано N+1 отсчетов времени . Задача прогнозирования временного ряда состоит в том, чтобы по известным значениям переменных для N отсчетов (предыстории) оценить значения переменных для N+1 – прогнозируемого момента времени.

Индексы, соответствующие отсчетам времени, будем размещать слева. Таким образом, будет обозначать кортеж значений переменных для момента времени t.

Для удобства записи предыстории введем также обозначения и – составной кортеж значений переменных для предыстории. При этом , где – k-я степень пространства D. Тогда будет пространством реализаций исследуемого случайного процесса.

Рассмотрим статистическую игру , где C – множество стратегий природы, – множество решений (в нашем случае ), – функция потерь, – пространство наблюдений.

Со стратегией природы свяжем – условное распределение в пространстве переменных для отсчета t при известных значениях переменных для отсчетов , где r=r(t,c) – длина существенной предыстории (влияющей на распределение для данного отсчета).

Будем предполагать, что вероятностные свойства процесса со временем не меняются, то есть – условное распределение не зависит от t.

Задачу прогнозирования временного ряда можно решать через восстановление стратегии c. При этом требуется указать алгоритм , который по полученной эмпирической информации строит – оценку стратегии природы.

В эмпирических данных могут одновременно присутствовать как реализация предыстории процесса, так и вероятностные высказывания экспертов, т. е. , где , а .

Здесь – множество всевозможных высказываний вида

, где , ,
= – оценка вероятности попадания в при любом ; – оценка степени доверия высказыванию.

“Если средний уровень оз. Байкал за прошлый год меньше 1700 (мм)

Обозначив = “средний уровень оз. Байкал”, = “суммарный годовой сток рек Баргузин и Селенга”, можем записать данное высказывание в виде.

.

Здесь , ,

, ,

, ,

, где и – соответственно минимальное и максимальное значения переменной X_j.

При этом , , , ; . Несмотря на то, что все ⁱD совпадают с D, мы для наглядности поставили индексы, соответствующие номеру отсчета предыстории.

,

где – функция правдоподобия для эмпирической информации, – априорное распределение на классе стратегий природы.

Предположив, что эксперты делают высказывания независимо от имеющейся у нас выборки, имеем .

Функция правдоподобия для выборочной реализации вычисляется как , где – значение на реализации v¹ условной плотности вероятностной меры относительно лебеговой меры в пространстве D. При этом лебегова мера подмножества разнотипного пространства естественным образом определяется, как сумма мер его непрерывных компонент (подробнее см. [1]).

Предполагая, это эксперты делают высказывания независимо, получаем , где

.

Здесь – некоторая эвристически подобранная функция, – мера несоответствия между высказыванием эксперта и стратегией природы (например, среднее по среднеквадратичное отклонение условной плотности от экспертных оценок), а – мера информативности высказывания, – равномерное распределение в .

Для использования формулы Байеса осталось задать – априорную вероятностную меру на стратегиях природы.

Выберем подкласс – распределений с кусочно-постоянными плотностями , у которых области постоянства представляются в виде , где . При этом (см. [2]) для переменных с упорядоченным множеством значений должно быть интервалом (иметь вид , причем для непрерывных переменных границы могут как включаться, так и не включаться, так как подмножества меры ноль для нас несущественны).

Меру положим равной нулю.

Представим как , где – класс распределений с областями постоянства. Поскольку вид областей постоянства фиксирован, любое распределение из можно задать конечным числом параметров. Действительно, параметрами интервала являются его границы, а множество подмножеств значений дискретной переменной с неупорядоченным множеством значений можно параметризовать двоичными векторами длины, равной числу возможных значений этой переменной.

При этом – пространство значений данных параметров будет иметь конечную меру Лебега (по предположению, ограничены, значит, ограничены множества значений параметров). Тогда параметризует .

На множестве зададим вероятностную меру , где , а – равномерное распределение на .

После того, как апостериорное распределение на стратегиях природы получено, в качестве решения можно взять усредненную по данному распределению стратегию .

Предложенный метод построения решающих функций может быть распространен для случая структурированного пространства переменных [3], которое является обобщением разнотипного пространства, образованного декартовым произведением областей допустимых значений переменных на случай, когда объект исследования имеет сложную иерархическую структуру и когда диапазон значений некоторых переменных зависит от значений, принятых переменными верхнего уровня иерархии.

Пусть – структурированное пространство и – множество всех подмножеств , которые сами являются структурированными пространствами в смысле данного выше определения.

Пусть – -алгебра, порожденная . Лебегову меру множества определим следующими стандартными правилами:

На мера распространяется в соответствии с аксиомами меры.

Класс измеримых подмножеств определим стандартным способом, а именно, будем считать измеримым тогда и только тогда, когда такие, что и , и при этом . Тогда .

Действительно, для можно задать вероятностное пространство, задав плотность вероятностной меры относительно лебеговой. Кроме того, любое множество из определяется конечным числом параметров, что позволяет использовать предложенный в работе метод задания априорной меры .

1. Лбов Г. С., Неделько В. М. "Байесовский подход к решению задачи прогнозирования на основе информации экспертов и таблицы данных". // Доклады РАН. Том 357. № 1. 1997. С. 29–32.
2. Lbov G. S., Berikov V. B. Recognition of a Dinamic Object and Prediction of Quantitative Characteristics in the Class of Logical Functions. // Pattern Recognition and Image Analysis 1997, V. 7(4), pp. 407-413.
3. Неделько В. М. "Байесовская стратегия построения решающей функции в структурированном пространстве". // V Междун. конф. "Компьют. ан. данных и моделир.". Сб. статей. Ч. 4. Минск, 1998. С. 81–85.