4. Двузначная классическая математическая логика по своей сути является теорией математических доказательств. Она впитала и отразила те правила, которые на протяжении веков складывались в математике, и которыми руководствуются математики в своих обоснованиях и доказательствах. Говоря это, оставляем в стороне вопрос о том, что является первичным в паре: логика, математика. В традиционной математике всегда предполагается (хотя, правда, об этом редко явно говориться), что на любой вопрос может быть в принципе получен ответ: либо “да”, либо “нет”. [Например. Переменная х принимает значение а? Функция f(x) при х=а обращается в ноль? Является ли х элементом множества Х? В традиционной математике исходят из того и только того, что на все эти вопросы может быть лишь один из двух ответов “да” или “нет”.] Другими словами, предполагается полная определённость. Такое же положение видим и в двузначной классической логике. Высказывания могут быть либо истинными, либо ложными. Двузначная математическая логика полностью удовлетворяет большинство математиков, по крайней мере, так кажется. Но чрезвычайно трудно поверить, что она может лежать в основе, например, теории принятия решений. При принятии решений требование полной определённости, как правило, невыполнимо. Принимать решения в действительности приходится в условиях неполных знаний (в условиях неопределённости), когда многое либо неизвестно, либо недостаточно известно. Вне математики людям приходится иметь дело с утверждениями разной степени истинности (ложности), а не с полностью истинными (ложными) утверждениями. Подлинно человеческая логика - это логика, в которой бесконечно много истинностных значений, а не только “истина” и “ложь”, как в двузначной логике. Причём границы между отдельными значениями истинностного функционала размыты, нечётки, трудноопределимы. Если прибегнуть к геометрическим представлениям, то истинностный функционал предстал бы в виде непрерывной плавной кривой, в которой одно истинное значение постепенно, незаметно переходит в другое. Любая дискретная логика (а тем более, двузначная) - результат упрощения, огрубления действительного положения вещей. Логика, которой пользуются люди вне математики, непрерывнозначная, т.е. в ней бесконечно много истинностных значений и она не является дискретной. В своих формальных построениях исходим, во-первых, из того, что принятие решения не является просто волевым актом. Это значит, что принимающий решение, перед тем как сделать нужный шаг, пытался обосновать его, пытался убедить себя и других в правильности принимаемого решения. Во-вторых, исходим из того, что в обосновании решения лежит некоторая логика, связанная с оценками рассматриваемых ситуаций. Практика показывает, что в беседе, в споре, в ходе обсуждения любых вопросов науки, производства и быта люди убеждают собеседников, слушателей, читателей, оппонентов в правоте своих взглядов. Они защищают, отстаивают весомость своих суждений, опровергают те взгляды, утверждения и понятия, которые им кажутся сомнительными. Иными словами, в ходе обмена мыслями люди в большинстве своем не пассивно обмениваются сведениями, а обосновывают согласно некоторым, быть может, интуитивно улавливаемым правилам свои представления о мире, обосновывают свои суждения о любых его сторонах. В подавляющем большинстве случаев это обоснование происходит в условиях неполной информации о предмете рассмотрения.

5. В развитии цивилизации громадную, можно даже сказать решающую роль сыграла наука и техника. В свою очередь, в развитии науки и техники немалую роль сыграли достижения в математике. Современную математику трудно представить обособленно, независимо от классической двузначной логики. Математическая логика и теория алгоритмов лежит в основе теории ЭВМ, с каждым годом всё глубже и шире проникающих в нашу жизнь. Хотя математическая логика не является обязательным предметом в программах по подготовке кадров по многим специальностям, однако, её нормы усваиваются вместе с курсами по математике. Законы двузначной логики многим кажутся естественными и всепроницающими. В значительной мере это можно объяснить авторитетом математики. Сложившемуся специалисту, усвоившему и разделяющему правила двузначной логики, её законы, трудно перенастроиться на использование в своей практической деятельности других (отличных от двузначной) логик. Как отмечалось в литературе, именно “внутренним сопротивлением” можно объяснить то обстоятельство, что многозначные логики, как будто бы более близкие людям, чем двузначная, не получают широкого распространения и применения.

Сама постановка такой задачи может быть расценена как абсурдная, поскольку многим кажется, что законы двузначной логики зиждутся именно на её двузначности. А потому отказ от двузначности (переход к непрерывнозначности) воспринимается как неминуемо приводящий к формализму, в котором не могут быть выполнены все законы двузначной логики. Большое число многозначных логик, свойства которых отличаются от свойств двузначной, укрепляет в правильности такого понимания положения вещей. В чём видятся достоинства непрерывнозначной логики со свойствами двузначной? Преимущества такой логики представляются в том, что применения её при решении практических задач не потребуют от сформировавшихся специалистов, не являющихся, как правило, профессиональными математиками, внутренней перестройки, переучивания, отказа от привычного и кажущегося столь соответствующим реальному миру. Нельзя не учитывать и того, что законами логики часто пользуются подсознательно, а потому контролировать их применения не всегда легко. Отсюда следует, что соответствие формального аппарата интуиции лица, его применяющего, вовсе не является маловажной стороной любого формализма. Хотелось бы построить формальный аппарат, который мог бы использоваться как инструмент при решении многих практических задач.

Потребность в формализме, которым можно было бы пользоваться в условиях неопределённости, неадекватность методов теории вероятностей задачам, решаемым с их помощью, были замечены многими учёными. Поясним сказанное, обратившись к сложившимся методам оценки работоспособности. Напомним, что “работоспособное состояние (работоспособность) - состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность объекта выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской документации” ([1], стр. I68). Для оценки работоспособности, как следует из определения, надо сравнить значения всех выделенных параметров со значениями тех же параметров, указанных в соответствующей документации. Естественно называть объект, с которым ведётся сравнение исследуемых объектов, эталоном. Если обратиться к теории надёжности, рассматривающей, в частности, методы для оценки работоспособности, то убедимся в том, что в большинстве публикаций исследование работоспособности происходит не путём сравнения параметров изучаемого объекта с эталоном, а косвенным путём, путём изучения частоты отказов. В теории надёжности предполагается, что любой объект может быть в двух состояниях: либо быть работоспособным, либо быть неработоспособным. Состояние неработоспособности наступает в силу того, что произошло событие, называемое отказом работоспособности, сделавшее объект неработоспособным. Безотказность (свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторого времени или некоторой наработки) - свойство, характеризующее работоспособность объектов исследования. Таким образом, работоспособность выражается в сложившейся теории надёжности посредством отрицания неработоспособности, т.е. при помощи безотказности. Основными показателями безотказности элементов системы являются: вероятность безотказной работы, среднее время безотказной работы, среднее время работы до отказа, среднее время работы между отказами, интенсивность отказов и параметр потока отказов. Видим, что все эти показатели имеют вероятностный характер. Они тем или другим образом выражают вероятность того, что объект находится в работоспособном состоянии. Вероятностные характеристики позволяют составить представление о работоспособности косвенно посредством наблюдения (фиксирования) отказов, а не непосредственно через наблюдение и измерение с помощью физических приборов (либо иных средств) свойств исследуемого объекта, хотя именно от них зависит, находится ли объект в работоспособном состоянии или нет. Такое положение дел объясняется тем, что теория надёжности, её методы сформировались тогда, когда для изучения нечётких (неопределённых) ситуаций был лишь один математический аппарат - теория вероятностей. Изучать же с помощью вероятностных методов непрерывно изменяющиеся процессы, а именно ими, как правило, являются процессы перехода от состояния полной работоспособности к состоянию полной неработоспособности эксплуатируемых объектов, весьма сложно. Эти объективные трудности привели к тому, что в теории надёжности рассматриваются в основном вероятностные модели с двумя состояниями (работоспособность, отказ) как самой системы, так и всех её элементов. Недостаток такого подхода при оценке состояний технических систем отмечается, например, в [2], стр. I08-109: “При изучении надёжности сложных технических систем и устройств альтернатива “всё или ничего”, которая характерна для теории надёжности, часто оказывается слишком грубой. Поэтому инженеры в своей практике нередко хотели бы использовать более тонкое деление уровней работоспособности. ... Можно привести много важных примеров, когда необходимо различать более чем два уровня качества работы. Поэтому в последнее время специалисты по теории надёжности во многих странах работают над созданием моделей надёжности, в которых монотонные булевы модели надёжности развиты на многозначный случай”. Появились работы, в которых рассматривают не два состояния, в которых могут находиться элементы системы и сама система, a n состояний. О таких обобщениях, об их недостатках читаем в [2], на стр. 109: “С математической точки зрения это обобщение представляется естественным. Если, однако, задуматься о конкретных технических приложениях, то можно найти немного примеров того, чтобы число осмысленных уровней работоспособности элементов совпадало с этим же число для всей системы”.

Предпринятая попытка не является новой. Например, теория нечётких множеств Л.А. Заде значительно дополняет статистические и вероятностные методы в области структуризованной неопределённости в случае, когда нельзя обоснованно воспользоваться ставшими уже традиционными методами. Но, как гласит китайская пословица, если двое делают одно и то же, то это вовсе не одно и то же. Предлагаемый формальный аппарат значительно отличается от того, который разработан в теории нечётких множеств, не говоря уже о том, что исходные посылки обеих теорий (нечётких множеств и логики антонимов) весьма различны. Продолжение следует.

1. Надёжность и эффективность в технике. Т. 1: Методология. Организация. Терминология / Под ред. А.И.Рембезы. - М.: Машиностроение, 1986. - 224. с.
2. Райншке К., Ушаков И. А. Оценка надёжности систем с использованием графов / Под ред. И.А.Ушакова. - М.: Радио и связь, 1988. - 208 с.