Сайт Информационных Технологий Наш магазин может предложить заказ цветов www.poradoval.ru предлагаем недорого.

О ДВУХ “ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ВОЛЬНОСТЯХ”, ОГОРЧАЮЩИХ ЛОГИКА

Я.Я. Голота

ЦНИ Санкт-Петербургского государственного технического университета

Abstract –Soft computing is not a calculation where it is possible to neglect the laws of logic. Two problems are discussed in the article: application of probability theory and Zadeh theory during the task solution and logical-probabilistic method where the algebra of propositional logic and probability theory are combined. In the first case there is an inconsistency in basic assumptions (the law of consistency is broken). In the second case the law of consistency is broken and the subject of theory is changed whereas the theory itself is kept (law of identity is broken). Ascertainment of both the logical inconsistency of the theory and infringement of the law of identity overturns the theory without any further arguments.

Мягкие вычисления. Это словосочетание наводит на мысли, что есть твёрдые, жёсткие вычисления, т.е. производимые по раз и навсегда установленным правилам, которые не зависят ни от задачи, ни от обстоятельств, сопутствующих вычислениям, ни от лица, производящего вычисления, и есть вычисления, которые жёсткими не являются. Например, вычисление согласно равенству 2 ? 2 = 4 - жёсткое вычисление. А если вести вычисление в соответствии с формулой 2 ? 2 = 4 + X, где Х - любое число, то следует ли считать его “мягким”? Автор настоящих строк мысленно уже слышит голос строгого читателя: “Не надо путать мягкие вычисления с неверными”. А как отличить верные вычисления от неверных? “Не надо задавать глупых вопросов!” - говорит мне всё тот же голос, хотя вопрос вовсе не праздный. Есть случаи, когда отличить верные решения от неверных весьма сложно. Остановимся только на двух схемах вычислений, которые у некоторой части коллег-исследователей даже не вызывают малейших сомнений в их верности, хотя для такой уверенности нет никаких оснований.

В настоящее время в обиходе вычислителей-практиков, вычислителей-исследователей находится большое число формальных систем, с весьма разными свойствами. Насколько в рамках какого-то вычислительного процесса сочетаемы разные формальные системы? Иными словами, любые ли две системы могут быть использованы на разных этапах решения какой-либо задачи?

1. Теория нечётких множеств Л.А. Заде занимает нишу, которую не может занять теория вероятностей. Условия корректного применения теории вероятностей очень и очень жёстки. Для их удовлетворения нужна принципиальная неограниченность роста числа испытаний при неизменных условиях их проведения. Соблюсти эти требования чрезвычайно сложно. Применение же теории Заде не ограниченно жёсткими условиями. Это обстоятельство наводит на мысль применять в процессе решения задачи как теорию вероятностей, когда это возможно, так и теорию Заде. Применение теории вероятностей позволяет думать, что результаты вычислений объективны, будучи независимыми от исследователя. Этого никак нельзя сказать, если пользоваться теорией Заде. К совместному использованию обеих теорий располагает совпадение множеств значений функционалов, рассматриваемых в них. Насколько допустимо совместное применение указанных теорий при решении какой-либо задачи? Если обе теории не могут быть одновременно использованы, то почему? К каким “неприятностям” может привести их применение в ходе решения задачи?

Будем говорить, что логическая система обладает свойством булевости, если в ней имеют место аналоги всех без исключения законов булевой алгебры.

Напомним закон противоречия – один из основных законов логики. Всякий раз, когда принимается одновременно нечто (обозначим его посредством А) и его отрицании (O А), означает, что принимается противоречие, ложь (А&O А). Из лжи же следует все, что угодно (А&O AE B). Эта формула истинна при любых А и В (А&O AE B~ И, где “~ - знак эквивалентности, И – символ истины). Поскольку нет и не может быть формальных средств, позволяющих отличить истину от лжи, наличие противоречия в самой теории обесценивает ее. Противоречие делает теорию некорректной, бессодержательной, так как любое утверждение – как содержательно истинное, так и содержательно ложное – в равной мере оказываются обоснованными, т.е. понятие обоснования, доказательства в них совершенно обесцениваются. Все, что угодно, может быть обосновано в равной мере. Упование же на “здравый смысл”, на то, что удастся отличить во всех случаях “истину” от “лжи” по содержанию полученных результатов, кажется весьма сомнительным. Итак, чтобы не было сомнений в правильности результатов, полученных с помощью некоторой теории (метода, приема, процедуры), надо заботиться об ее непротиворечивости, об отсутствии противоречия в ее основе. Еще раз подчеркнем, что наличие противоречия в теории вовсе не означает, что абсолютно все результаты, извлеченные из нее, ложны. Нет! Из противоречия следует и истина, и ложь. Однако отличить их формально нет принципиальной возможности.

Теория вероятностей обладает свойством булевости. Теория же Заде им не обладает. Сегодня в рамках теории Заде предложено несколько формул для вычисления конъюнкции и дизъюнкции. При различных правилах вычисления конъюнкции и дизъюнкции оказываются невыполненными разные законы двузначной классической логики высказываний. Например, если

V(O A) = 1 – V(A),

V(A&B) = min[V(A), V(B)],

V(A\/B) = max[V(A), V(B)],

то не выполняется закон исключенного третьего. Действительно. Пусть V(A)=a, V(O A)=1–a, в этом случае U(A\/O А)= =max[а, 1-а] ? 1, если а? 0, а? 1. Таким образом, в общем случае, т.е. при любых аI [0,1], закон исключенного третьего не выполняется.

Из сказанного следует, что применяя при решении задачи на каком-то шаге теорию вероятностей, а на каком-то шаге - теорию Заде, исследователь тем самым принимает противоречие (он одновременно принимает булевость (В) и не принимает её (O В), т.е. принимает противоречие (В&O В)). Из чего вытекает некорректность метода, основанного на одновременном использовании и теории вероятностей, и теории Заде.

Следует подчеркнуть, что речь мы ведём не об элементарной вычислительной ошибке, а о нетривиальной проблеме, важной, трудной и глубокой как для логики, так и для математики. Логические ошибки не столь заметны, как вычислительные. Однако это не означает, что их можно (или даже следует) не замечать. Верить вычислениям, в которых допущены логические ошибки, столь же безрассудно, как и относиться с доверием к решениям, в которых допущены “чисто вычислительные” ошибки. Ошибки остаются ошибками независимо от их природы.

2. В настоящее время некоторая часть специалистов, работающих в области надёжности, применяет так называемый логико-вероятностный метод. Он состоит в том, что одновременно используется как аппарат теории вероятностей, так и аппарат алгебры логики высказываний. В книге [1] авторов логико-вероятностного метода читаем: “Одним из перспективных направлений является разработка логико-вероятностных методов (ЛВМ), математическая сущность которых заключается в использовании функций алгебры логики (ФАЛ) для аналитической записи условий работоспособности системы и в разработке строгих способов перехода от ФАЛ к вероятностным функциям (ВФ), объективно выражающим безотказность этой системы. Для сложных задач и структур, описываемых ФАЛ произвольной формы, непосредственный переход к вероятности истинности функций алгебры логики не прост”. Алгебра логики высказываний исходит из полной определённости объектов изучения. Теория же вероятностей предполагает неопределённость в совершении событий. Таким образом, в одной теории объединяются отрицающие друг друга начала: полная определённость и неопределённость. Не говорит ли это об очевидном противоречии, лежащем в основе логико-вероятностной теории? Но это не единственный промах, допущенный авторами ЛВМ. Второй требует более детального рассмотрения. Как понимать в приведенной цитате сочетание слов “вероятность истинности функций алгебры логики”? Обойти этот вопрос нельзя, поскольку действия в ЛВМ сводятся к вычислению вероятности вида (см., например [2]):

(1)

где P - символ вероятностного функционала, - дизъюнкция, состоящая из d дизъюнктивных членов, каждый из которых представляет собой конъюнкцию элементов zi, принимающих значения либо 0, либо 1. Единица в алгебре логики высказываний символизирует истину. В фигурных скобках выражения (1) написано сложное высказывание, утверждающее, что дизъюнкция конъюнкций истинна. Всё выражение (1) суть вероятность того, что формула алгебры логики истинна.

В теории вероятностей рассматриваются и оцениваются события, а не высказывания, посредством которых сообщается о событиях. Если обратиться к широко известным курсам теории вероятностей, например, [3, 4, 5], то обнаружим, что говорить о вероятности истинности высказываний не принято, по крайней мере общеизвестные учебники такого не предлагают. В теории вероятностей рассматриваются не просто события, а массовые события. Да и само понятие вероятности, вобравшее в себя многовековой опыт употребления его, не даёт повода считать, что традиционное представление о вероятности допускает понимание вероятности как оценку истинности высказываний. Конечно, ничто не мешает термин “вероятность” связать с новым содержанием. Но в этом случае надо: 1) аккуратно сформулировать новое понимание термина; 2) построить теорию, соответствующую новому толкованию термина. Всего этого авторами ЛВМ сделано не было.

В алгебре логики высказываний рассматриваются высказывания только на один предмет: их истинности или ложности, безотносительно содержания высказываний, без учёта той информации, которая содержится в предложениях. В алгебре логики высказываний изучается сугубо дискретный объект, принимающий только два значения, а не непрерывный. Высказывания либо истинны, либо ложны. Никаких других истинностных значений, промежуточных между ложью и истиной (между 0 и 1), они в алгебре логики высказываний не принимают. На этом основаны многие утверждения алгебры логики высказываний. К их числу можно отнести, например, утверждение о приведении любой формулы к дизъюнктивной нормальной форме.

Таким образом, формула (1) лишена смысла и с позиции традиционной теории вероятностей, и с позиции давно сложившейся алгебры логики высказываний. С точки зрения этих наук абсурдно говорить об “истинности событий” и о “вероятности высказываний”, поскольку истинность - характеристика высказываний, но не событий, а вероятность - характеристика событий, но не высказываний. Каждое высказывание феноменально. Бессмысленно говорить об их массовости в теоретико-вероятностном смысле.

Если авторы ЛВМ намерены иначе интерпретировать ранее построенные теории, намерены истолковывать формулы иначе, чем это принято в общеизвестных курсах, то, чтобы предлагаемый метод был понятен, надо тщательно, всесторонне его исследовать во всех деталях, а не ссылаться на теории, в которых рассматриваются другие интерпретации, являющиеся существенной частью как существующей теории вероятностей, так и существующей алгебры логики высказываний.

Появление на свет ЛВМ говорит о том, что его авторами была осознанна потребность в теории, в которой фигурируют логические связки, а рассматриваемый функционал принимает значения сплошь из некоторого промежутка, т.е. является непрерывным. Иными словами, ими была осознанна потребность в непрерывной логике. Поскольку в своём методе они используют алгебру логики высказываний, это говорит о том, что им хотелось бы располагать непрерывной логикой со свойством булевости. Именно таким формализмом является логика противоположностей - логика антонимов (см. доклады автора на предыдущих конференциях по мягким вычислениям).

Итак, мягкие вычисления не являются вычислениями, которые можно производить, пренебрегая законами логики. Нельзя по ходу решения задачи применять и теорию вероятностей, и теорию Заде, так как это означает принятие противоречия. Нельзя механически объединять теорию вероятностей и алгебру логики высказываний, поскольку это означает не только принятие противоречия, но и принятие теории при ином, чем принято, понимании её объекта изучения. Последнее находится в противоречии с законом тождества. Приведём соответствующую цитату из энциклопедического словаря 1955 г. (Т. 3, стр. 407): “Закон тождества, один из основных законов логики, согласно которому понятия в процессе суждений, умозаключений и доказательств должны мыслиться с определёнными присущими им существенными признаками и не должны подменяться другими понятиями, имеющими иное содержание. Нарушение закона тождества ведёт к логическим ошибкам, которые называются “подменой понятий”, “подменой тезиса” в доказательстве”. Именно подмена понятий происходит в ЛВМ.

Непрерывные логики с большим трудом занимают своё место в логико-математическом арсенале как теоретиков, так и прикладников. Причина этого видится, в частности, в низкой логической культуре, сложившейся в России после 1917 г. Приведённые казусы подтверждают это утверждение. Именно низкой логической культурой объяснимы рассмотренные выше ляпсусы. Безусловно, замалчивать абсурд недопустимо, особенно если речь идёт о науке, о методах исследования, о теоретических сторонах вычислений. Однако надо отдавать себе отчет, что никакие призывы соблюдать нормы научного мышления не изменят положения дел на “логическом фронте”. В российской науке ситуация может измениться в лучшую сторону только в том случае, если нормы строгого мышления, нормы логики станут нормой повседневного мышления, если логика превратится из науки для избранных в науку для большинства. Это же может произойти лишь в одном случае, если логика станет непременным элементом образования и школьного, и вузовского. Никому не приходит в голову спрашивать: зачем нужно в школе преподавать русский язык? Зачем надо обучать арифметике? Чтобы люди не мыслили абсурдно, надо, чтобы не возникало только вопроса: зачем нужна логика в системе образования? Логика нужна не только для того, чтобы умело проектировать и эксплуатировать ЭВМ, логика - в первую очередь элемент общения. Она нужна каждому, чтобы верно понимать других людей. Она нужна каждому, чтобы его верно понимали другие люди. Не верьте, что школьное и вузовское образование могут быть высокого качества, если логика не является её безусловным элементом! А пока же автор данных строк не питает надежды быть понятым каждым, кто их прочтёт.

Литература

1. Рябинин И.А., Черкесов Г.Н. Логико-вероятностные методы исследования надёжности структурно сложных систем. - М.: Радио и связь, 1981. - 264 с.

2. Теория и информационная технология моделирования безопасности сложных систем. Вып. 1 /Под ред. И.А. Рябинина. Препринт 101. - СПб. ИПМАШ РАН. 1994. - 81 с.

3. Гливенко В.И. Курс теории вероятностей. - М.: ГОНТИ, 1939.

4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1965. - 400 с.

5. Вентцель E.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969. - 576 с.


Site of Information Technologies
Designed by  inftech@webservis.ru.