Мягкие вычисления. Это словосочетание наводит на мысли, что есть твёрдые, жёсткие вычисления, т.е. производимые по раз и навсегда установленным правилам, которые не зависят ни от задачи, ни от обстоятельств, сопутствующих вычислениям, ни от лица, производящего вычисления, и есть вычисления, которые жёсткими не являются. Например, вычисление согласно равенству 2 ? 2 = 4 - жёсткое вычисление. А если вести вычисление в соответствии с формулой 2 ? 2 = 4 + X, где Х - любое число, то следует ли считать его “мягким”? Автор настоящих строк мысленно уже слышит голос строгого читателя: “Не надо путать мягкие вычисления с неверными”. А как отличить верные вычисления от неверных? “Не надо задавать глупых вопросов!” - говорит мне всё тот же голос, хотя вопрос вовсе не праздный. Есть случаи, когда отличить верные решения от неверных весьма сложно. Остановимся только на двух схемах вычислений, которые у некоторой части коллег-исследователей даже не вызывают малейших сомнений в их верности, хотя для такой уверенности нет никаких оснований.

Напомним закон противоречия – один из основных законов логики. Всякий раз, когда принимается одновременно нечто (обозначим его посредством А) и его отрицании (O А), означает, что принимается противоречие, ложь (А&O А). Из лжи же следует все, что угодно (А&O AE B). Эта формула истинна при любых А и В (А&O AE B~ И, где “~ ” - знак эквивалентности, И – символ истины). Поскольку нет и не может быть формальных средств, позволяющих отличить истину от лжи, наличие противоречия в самой теории обесценивает ее. Противоречие делает теорию некорректной, бессодержательной, так как любое утверждение – как содержательно истинное, так и содержательно ложное – в равной мере оказываются обоснованными, т.е. понятие обоснования, доказательства в них совершенно обесцениваются. Все, что угодно, может быть обосновано в равной мере. Упование же на “здравый смысл”, на то, что удастся отличить во всех случаях “истину” от “лжи” по содержанию полученных результатов, кажется весьма сомнительным. Итак, чтобы не было сомнений в правильности результатов, полученных с помощью некоторой теории (метода, приема, процедуры), надо заботиться об ее непротиворечивости, об отсутствии противоречия в ее основе. Еще раз подчеркнем, что наличие противоречия в теории вовсе не означает, что абсолютно все результаты, извлеченные из нее, ложны. Нет! Из противоречия следует и истина, и ложь. Однако отличить их формально нет принципиальной возможности.

V(O A) = 1 – V(A),

V(A&B) = min[V(A), V(B)],

V(A\/B) = max[V(A), V(B)],

то не выполняется закон исключенного третьего. Действительно. Пусть V(A)=a, V(O A)=1–a, в этом случае U(A\/O А)= =max[а, 1-а] ? 1, если а? 0, а? 1. Таким образом, в общем случае, т.е. при любых аI [0,1], закон исключенного третьего не выполняется.

Следует подчеркнуть, что речь мы ведём не об элементарной вычислительной ошибке, а о нетривиальной проблеме, важной, трудной и глубокой как для логики, так и для математики. Логические ошибки не столь заметны, как вычислительные. Однако это не означает, что их можно (или даже следует) не замечать. Верить вычислениям, в которых допущены логические ошибки, столь же безрассудно, как и относиться с доверием к решениям, в которых допущены “чисто вычислительные” ошибки. Ошибки остаются ошибками независимо от их природы.

2. В настоящее время некоторая часть специалистов, работающих в области надёжности, применяет так называемый логико-вероятностный метод. Он состоит в том, что одновременно используется как аппарат теории вероятностей, так и аппарат алгебры логики высказываний. В книге [1] авторов логико-вероятностного метода читаем: “Одним из перспективных направлений является разработка логико-вероятностных методов (ЛВМ), математическая сущность которых заключается в использовании функций алгебры логики (ФАЛ) для аналитической записи условий работоспособности системы и в разработке строгих способов перехода от ФАЛ к вероятностным функциям (ВФ), объективно выражающим безотказность этой системы. Для сложных задач и структур, описываемых ФАЛ произвольной формы, непосредственный переход к вероятности истинности функций алгебры логики не прост”. Алгебра логики высказываний исходит из полной определённости объектов изучения. Теория же вероятностей предполагает неопределённость в совершении событий. Таким образом, в одной теории объединяются отрицающие друг друга начала: полная определённость и неопределённость. Не говорит ли это об очевидном противоречии, лежащем в основе логико-вероятностной теории? Но это не единственный промах, допущенный авторами ЛВМ. Второй требует более детального рассмотрения. Как понимать в приведенной цитате сочетание слов “вероятность истинности функций алгебры логики”? Обойти этот вопрос нельзя, поскольку действия в ЛВМ сводятся к вычислению вероятности вида (см., например [2]):

(1)

где P - символ вероятностного функционала, - дизъюнкция, состоящая из d дизъюнктивных членов, каждый из которых представляет собой конъюнкцию элементов z_i, принимающих значения либо 0, либо 1. Единица в алгебре логики высказываний символизирует истину. В фигурных скобках выражения (1) написано сложное высказывание, утверждающее, что дизъюнкция конъюнкций истинна. Всё выражение (1) суть вероятность того, что формула алгебры логики истинна.

В алгебре логики высказываний рассматриваются высказывания только на один предмет: их истинности или ложности, безотносительно содержания высказываний, без учёта той информации, которая содержится в предложениях. В алгебре логики высказываний изучается сугубо дискретный объект, принимающий только два значения, а не непрерывный. Высказывания либо истинны, либо ложны. Никаких других истинностных значений, промежуточных между ложью и истиной (между 0 и 1), они в алгебре логики высказываний не принимают. На этом основаны многие утверждения алгебры логики высказываний. К их числу можно отнести, например, утверждение о приведении любой формулы к дизъюнктивной нормальной форме.

Итак, мягкие вычисления не являются вычислениями, которые можно производить, пренебрегая законами логики. Нельзя по ходу решения задачи применять и теорию вероятностей, и теорию Заде, так как это означает принятие противоречия. Нельзя механически объединять теорию вероятностей и алгебру логики высказываний, поскольку это означает не только принятие противоречия, но и принятие теории при ином, чем принято, понимании её объекта изучения. Последнее находится в противоречии с законом тождества. Приведём соответствующую цитату из энциклопедического словаря 1955 г. (Т. 3, стр. 407): “Закон тождества, один из основных законов логики, согласно которому понятия в процессе суждений, умозаключений и доказательств должны мыслиться с определёнными присущими им существенными признаками и не должны подменяться другими понятиями, имеющими иное содержание. Нарушение закона тождества ведёт к логическим ошибкам, которые называются “подменой понятий”, “подменой тезиса” в доказательстве”. Именно подмена понятий происходит в ЛВМ.

Непрерывные логики с большим трудом занимают своё место в логико-математическом арсенале как теоретиков, так и прикладников. Причина этого видится, в частности, в низкой логической культуре, сложившейся в России после 1917 г. Приведённые казусы подтверждают это утверждение. Именно низкой логической культурой объяснимы рассмотренные выше ляпсусы. Безусловно, замалчивать абсурд недопустимо, особенно если речь идёт о науке, о методах исследования, о теоретических сторонах вычислений. Однако надо отдавать себе отчет, что никакие призывы соблюдать нормы научного мышления не изменят положения дел на “логическом фронте”. В российской науке ситуация может измениться в лучшую сторону только в том случае, если нормы строгого мышления, нормы логики станут нормой повседневного мышления, если логика превратится из науки для избранных в науку для большинства. Это же может произойти лишь в одном случае, если логика станет непременным элементом образования и школьного, и вузовского. Никому не приходит в голову спрашивать: зачем нужно в школе преподавать русский язык? Зачем надо обучать арифметике? Чтобы люди не мыслили абсурдно, надо, чтобы не возникало только вопроса: зачем нужна логика в системе образования? Логика нужна не только для того, чтобы умело проектировать и эксплуатировать ЭВМ, логика - в первую очередь элемент общения. Она нужна каждому, чтобы верно понимать других людей. Она нужна каждому, чтобы его верно понимали другие люди. Не верьте, что школьное и вузовское образование могут быть высокого качества, если логика не является её безусловным элементом! А пока же автор данных строк не питает надежды быть понятым каждым, кто их прочтёт.