где А, В и АE В - высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно. Читается рассматриваемое правило следующим образом: если известно, что высказывание А влечёт (имплицирует) высказывание В, а также известно, что А истинно, то, следовательно, В истинно. Кажется очевидным, что в правиле modus ponens существенным является не то, что высказывания могут быть именно истинными и ложными, а то, что в качестве значений (оценок) высказываний выступают только два возможных истинностных значения. Их можно было бы символизировать, например, единицей и нулём. В этом случае правило вывода звучало бы следующим образом: если импликация АE В оценена единицей (импликации поставлена в соответствие единица) и А оценили единицей, то и В следует оценить единицей. Понятно, что если бы взяли не {0, 1}, а какое-нибудь другое, тоже двухэлементное множество, например {0, 100}, то результат был бы аналогичный: из оценки каждого из высказываний АE В и А числом 100 следует, что тем же числом 100 оценивается и высказывание В. Допустим, что рассматриваем не двухэлементное множество {0, 100}, а отрезок [0, 100]. Очевидно, в этом случае правило modus ponens, применить не удастся, если в качестве оценок брать любые числа от нуля до ста.

В логике антонимов, с началами которой можно познакомиться, например, по докладам на конференции по мягким вычислениям в позапрошлом и прошлом годах, а также по публикациям, указанным в тезисах докладов, рассматриваются связки a, b, g, d. Их частным случаем в двухзначной логике являются соответственно связки O , \/, &, E . То обстоятельство, что комплекс условий S влечёт за собой событие М, в логике антонимов можно символически записать как SdM. Последнее же выражение есть сокращённая форма записи формулы aSbM. Согласно логике антонимов справедлива следующая цепочка равенств:

H[SdM] = H[aSbM] =

=H[aS] + H[M|aaS] = H[aS] + H[M|S].

H[SdM] = H[aS] + H[M|S].

H[M|S] = H[SdM] - H[aS] , (1)

H[M|S] = H[SdM] + log₂[1-2^-H[S]]. (2)

Если на знакосочетание SdM смотреть как на формализацию причинно-следственной зависимости между событиями S и М (реализация комплекса условий S влечёт событие М), то H[SdM] - числовая оценка степени возможности того, что S влечёт М, H[M|S] - число, которое ставится в соответствие событию М при условии S, а H[S] - число, которое ставится в соответствие комплексу условий S.

На S можно смотреть как на комплекс причин, одним из следствий которых является событие М (S - причина, М – следствие). Такая терминология естественнее, ближе к онтологическому подходу, к формализму логики противоположностей - логики антонимов. Импликация, рассматриваемая в математической логике, такого истолкования, вообще говоря, не предполагает. Формальная логика далека от онтологии. В противоположность ей логика антонимов близка к человеческой практике, как, впрочем, и все другие непрерывнозначные логики. Обратимся к равенствам (1) и (2).

Они говорят о том, что для того, чтобы знать степень возможности события М, надо знать степень возможности того, что из S следует М, а также надо знать либо степень возможности того, что комплекс причин (условий) S не будет иметь места (равенство 1), либо степень возможности того, что причины S будут иметь место (равенство 2). H[S] - оценка осуществимости причин S, а H[aS] - оценка того, что причины S не будут иметь места. Итак, для оценки степени возможности события М при реализации условий S, являющихся причинами этого события, мало знать степень возможности либо степень невозможности этих условий-причин, но надо знать ещё степень возможности следования М из S.

Если следовать интуиции, то при оценивании степени возможности события В, которое является следствием причины (причин) А, роль первой скрипки играет причина A и шансы её реализации H[A]. На самом же деле, если вникнуть в логическую суть вещей, решающую роль играет характер связей, устанавливаемых между причиной и следствием (AdB) и степень возможности их осуществления (H[AdB]). Это в полной мере вскрывает логика антонимов и убедительно демонстрирует приводимая в данных тезисах таблица 1. Действительно, проанализируем таблицу построчно. Если просматривать любую строку таблицы слева направо (т.е. в направлении роста значений H[AdB] при фиксированном H[A]), то происходит

Количественная оценка степени возможности события-следствия В (Н[В|А]) при условии, что известны степени возможности события-причины А (Н[А]) и известны степени возможности причинно-следственной зависимости событий А, В (Н[АdВ])

быстрый рост значений Н[В|А], достигая больших значений. Такое происходит даже при малых значениях H[B], что наглядно демонстрирует верхняя часть таблицы. Если просматривать таблицу сверху вниз (т.е. в направлении роста значений H[A] при фиксированном значении Н[АdВ]), то становится очевидным, что степень возможности Н[B|A] растёт, но никогда не становится больше Н[АdВ]. Таким образом, если хотите увеличить шансы чего-то, заботьтесь о причинно-следственных зависимостях, выражаемых в языке логики антонимов формулой AdB.

Из равенств (1) и (2) видно, что числовые значения Н[B|A] и Н[АdВ] связаны между собой. Отсюда вытекает, что и выражения В|А, АdВ, отражающие качественную сторону задачи, тоже связаны между собой. Никак нельзя сказать, что знакосочетание В|А выражает следование В из А. Однако в какой-то мере событие А (если понимать под объектами изучения А, В события) обусловливает событие В. Этим, в частности, оправданно чтение знакосочетания В|А, предлагаемое в [1], “В при условии А”. Остановимся на различиях выражений В|А и АdВ. Рассмотрим Н[B|A] и Н[АdВ]. Пусть Н[А]® 0. В этом случае Н[АdВ]® ? , а Н[B|A]® ? -? , т.е. Н[АdВ] обращается в бесконечность, а вычисление Н[B? A] приводит к неопределенности вида ? -? .

(3)

Видим, что и в этом случае, чтобы знать условную вероятность Р(А/В), надо знать вероятность условия В (Р(В)) и вероятность произведения событий АВ Р(АВ). Усматривается некоторая аналогия между равенствами (2) и (3). вероятность Р(АВ) и оценка Н[ВdА] в каком-то смысле аналогичны друг другу (хотя бы в том, что они необходимы для вычисления значений величин, указанных в левых частях равенств (2) и (3)).

1. Голота Я.Я. О формализации логики неполных знаний (логики антонимов) // Логика и развитие научного знания: Межвуз. сб. под ред. И.Н. Бродского, Я.А. Слинина. – СПб.: издат. С.-Петербургского универ., 1992. - С. 92-112.