Важной областью в теории искусственного интеллекта является задача классификации контуров плоских бинарных изображений. Один из способов решения этой задачи состоит в выделении на распознаваемом контуре некоторого упорядоченного подмножества точек . Этому множеству точек ставятся в соответствии упорядоченные наборы (векторы) признаков выделенных точек. В процессе обработки и интерпретации контурных изображений приходится сталкиваться с тем или иным типом неясностей. Источниками неясностей могут быть расплывчатость исходных изображений, дискретизация изображений в процессе их обработки и.д. Поэтому множество точек контура можно рассматривать как нечеткое множество с функцией принадлежности , . Таким образом, ставится задача нахождения такого минимального нечеткого подмножества множества , чтобы множество наилучшим бы образом представляло множество . Задача нахождения минимального представления нечеткого множества является одной из задач классификации и приобретения знаний в условиях неопределенностей с помощью методов теории нечетких мер (см.[1]).

Конкретизируем эту задачу для получения минимального представления множества признаков контура. Под контуром будем понимать нечеткое множество точек с односвязным носителем, на котором задано отношение порядка. В первую очередь на контуре стараются выделить так называемые угловые (контрольные) точки, то есть точки, имеющие большую кривизну. Если - гладкий контур, заданный параметрически , , где - дважды дифференцируемые функции, то кривизна будет равна . Кривизну дискретного контура можно оценить косвенно, например (см. [2]), следующим образом. На универсальном множестве , таком, что , зафиксируем некоторую метрику и вычислим , , где - -окрестность точки в заданной метрике. Величину назовем весом точки . Вес является некоторой оценкой кривизны точки . В работе [3] было показано, что вес точки является функцией от кривизны кривой в данной точке. Точнее, имеет место приближенная формула . Причем точность этой формулы тем выше, чем меньше кривизна кривой в точке или радиус окрестности .

Заметим, что . Далее, для некоторого фиксированного значения выделим множество . Множество является некоторым представление контура . Возникает задача выбора значений параметров , таких, чтобы представление было, с одной стороны, минимальным, а с другой - “хорошим”.

Будем рассматривать представление контура , с функцией принадлежности . Универсальное множество будем считать конечным. Для построения идентифицирующего функционала введем в рассмотрение так называемое нечеткое отношение похожести в [4, стр.128] , то есть рефлексивное, симметричное нечеткое отношение, удовлетворяющее неравенству для всех . Следуя E.H.Ruspini, назовем множество нечетким представлением множества , если

.(1)

Эффективность такой кластеризации зависит от используемого нечеткого отношения похожести , а выбор этого отношения определяется признаками, по которым осуществляется классификация. В частности, в качестве отношения похожести можно использовать функцию , где - -й признак точки , - некоторая такая метрика в , что . Ниже будем рассматривать функцию , где - вес точки , то есть осуществлять классификацию по весу. Тогда (1) приобретает вид

(2)

. (3)

. (4)

, (5)

. (6)

Будем говорить, что неравенство (6) выполняется точно на , если для любой функции , такой что существует : , выполняется

. (7)

Предложение 3. Если (6) выполняется точно для нечеткого представления множества с отношением похожести , то для всех .

Доказательство непосредственно следует из определения точной оценки (7) и неравенства (2), где , .

Доказательство. Необходимость. Если для всех , то из (5) следует, что . Поэтому (5) справедливо для любого такого представления , что . Откуда .

Достаточность. Пусть . Тогда, с одной стороны, . С другой стороны, из (5) следует, что . Поэтому для всех .

Рассмотрим алгоритм нахождения минимального представления . Пусть - множество точек контура , упорядоченное по убыванию весов , . Вычислим

и

для . Тогда, согласно (4), минимальное , для которого , будет определять границу разбиения множества на два класса и . Если - четкое множество, то алгоритм нахождения минимального представления значительно упрощается. Пусть и , . Тогда наименьшее , для которого будет определять границу представления .

Пример: пусть - четкое множество и , где , , , , , . Тогда , , , , , . Поэтому - минимальное представление контура .

Замечание. В качестве отношения похожести можно использовать также функцию , , которая, в силу справедливости неравенства для , удовлетворяет всем условиям отношения похожести. Так как при , то очевидно, для минимального представления будет справедливо включение , если .