Использование непрерывной логики (НЛ) с несущим множеством и логическими операциями (дизъюнкция), (конъюнкция) и отрицание позволяет обобщить теоретико-множественные операции на случай нечетких множеств [1]

(1)

.

Здесь - мера принадлежности элемента множеству . Операции объединения и пересечения нескольких нечетких множеств вводятся аналогично (1).

(2)

в котором -й по величине элемент есть , так что . Функцию

(3)

назовем порядковым ЛО ранга и обозначим или . ЛОявляется числовой характеристикой множества , напоминающей определитель квадратной матрицы. Он выражается через свои элементы при помощи операций НЛ в виде (2)

.(4)

. (5)

, (6)

(7)

Введенную операцию назовем -композицией нечетких множеств . Таким образом, мера принадлежности элемента -композиции нечетких множеств определяется как порядковый ЛО ранга от совокупности мер принадлежности этого элемента отдельным множествам. В частном случае получаем 1-композицию множеств, совпадающую с их пересечением. В другом частном случае получаем -композицию множеств, совпадающую с их объединением. В общем случае, при (который реализуется, если ) -композиция является новой операцией, существенно отличающейся как от объединения, так и от пересечения нечетких множеств. Точнее говоря, эта операция занимает промежуточное положение между операциями объединения и пересечения, что вытекает из очевидных неравенств

(8)

Как видно из (8), операция -композиции нечетких множеств сильнее операции их объединения, но слабее операции их пересечения (т.е. ). При этом по мере увеличения от 1 к "сила" -композиции уменьшается, приближаясь к силе операции объединения множеств, а по мере уменьшения от к 1 эта "сила" возрастает, стремясь к "силе" операции пересечения множеств.

-композиция нечетких множеств, являясь обобщением операций объединения и пересечения таких множеств, может быть в то же время представлена в виде суперпозиции указанных операций. Действительно, раскрыв ЛО в правой части (7) согласно (4), получаем

(9)

(10)

-композиция нечетких множеств удовлетворяет распределительному закону относительно пересечения и объединения и закону сложной (повторной) композиции [3].

Введенная операция -композиции нечетких множеств не является обобщением операций с обычными множествами и не переходит в них при переходе нечетких множеств в четкие. Она является новой операцией, не имеющей аналогов среди обычных теоретико-множественных операций. Операция -композиции показывает, что между объединением и пересечением множеств нет пропасти, обе они - -композиции с различными значениями индекса . Благодаря существенной новизне операции -композиции появляется возможность более эффективного логического вывода и принятия решений.

Рассмотрим вопрос подробнее. Пусть имеется коллектив из экспертов, оценивающих одну и ту же ситуацию количественно, в условиях неполной информации. Предположим, что оценка ситуации, даваемая одним экспертом, имет вид нечеткого подмножества множества всех альтернатив и характеризуется соответствующей мерой принадлежности . Тогда задача состоит в объединении (агрегировании) оценок различных экспертов в единую, коллективную оценку изучаемой ситуации. Обычным подходом при объединении индивидуальных оценок в коллективную оценку является пересечение нечетких подмножеств , с получением нового нечеткого множества

(11)

оценку ситуации [4]. недостаток оценки (11) в узости и разреженности (малой мере ) получаемого оценочного множества, которое может оказаться и пустым, если индивидуальные оценки сильно различаются. Возможный выход из положения заключается в том, чтобы отказаться от требования выбирать в качестве коллективной оценки общую часть всех индивидуальных оценок (как это принято в (11)), и заменить его более мягким условием выбора в качестве коллективной той индивидуальной оценки, которую дает наиболее "представительный" эксперт. В качестве такого эксперта естественно выбрать того, чья оценка достаточно удалена от крайних оценок, имеющихся в данном коллективе. Таким образом, предлагаемый подход означает объединение индивидуальных оценок в коллективную путем операции -композиции над ними с подходящим значением ранга

. (12)

Наш подход можно назвать ранговым. Как следует из (10), ранговый подход эквивалентен выделению всевозможных "представительных подмножеств" экспертов по эксперту в каждом, и принятию в качестве коллективной наилучшей (с максимальным ) из оценок, полученных в подмножествах по правилу (11).

1. Заде Л. Понятие лингвистической переменной. - М.: Мир, 1978.
1. Левин В.И. Структурно-логические методы исследования сложных систем с применением ЭВМ. - М.: Наука, 1987.
1. Левин В.И. Обобщенные операции над нечеткими множествами// International Conference on Soft Computing and Measurements. Proceedings of Conference. Vol.1. S-Petersburg. 1999.
1. Bellman R.E., Zadeh L.A. Decision making in Fuzzy Environment// Management Science. 1970. V.17. №4.