Ю.Т. Лячек

Одним из важнейших инструментальных средств современных систем автоматизированного проектирования является механизм модификации (перестроения) чертежей. Этот механизм позволяет пользователю-конструктору автоматически перестроить изображение объекта в соответствии с переопределенными значениями размеров, которые поставлены в чертеже и полностью определяют форму изображаемой детали или узла. Основой для реализации подобного механизма модификации формы детали является параметрическая модель (описание) изображения (чертежа). В такой модели параметры всех без исключения графических компонентов чертежа представлены в виде функции от набора размерных обозначений, установленных на чертеже, либо в виде численного значения этой функции. Требуемое параметрическое описание может быть и получено, и представлено различными способами. Например, оно может быть создано в процессе формирования исходного изображения на экране дисплея. параллельно с созданием описания чертежа детали. Это позволяет учесть все особенности и историю процесса формирования каждого графического элемента, составляющего чертеж. Другой путь обеспечивает создание параметрической модели после завершения формирования исходного изображения, т.е. на основе созданного файла описания чертежа. В этом случае файл описания чертежа содержит только составляющие его графические элементы, при этом и размерные обозначения являются в описании только графическими элементами. Все графические элементы в файле характеризуются конкретными числовыми данными, которые только опосредованно связаны с параметрами размерных обозначений. Кроме того, в таких файлах не фиксируется история и условия создания каждого из графических элементов чертежа. Примером второго пути формирования параметрических моделей чертежей является аналитико-синтетический метод [1]. При этом синтез параметрической модели приходится осуществлять на основе всестороннего анализа условий взаимоотношений всех графических элементов, составляющих чертеж. Анализироваться должны условия параллельности, перпендикулярности, касания, сопряжения, постоянство толщины, симметрии, отношения видов и т.п. Одной из непростых задач, которая должна решаться при аналитическом подходе, является задача построения параметрической модели нескольких последовательно сопряженных дуг разного радиуса и направления. В общем случае такие фигуры можно рассматривать как сложный для параметризации объект сопряжения. Так как задача параметризации подобных фигур должна быть решена в общем виде, то сложность ее решения определяется:

Подсчет количества параметров, полностью описывающих фигуры, будем вести на основании положений теории параметризации графических объектов [2].

1. Разомкнутые фигуры.

Фигура, состоящая из одной дуги, в общем случае (в глобальной системе координат) требует для полного определения пяти параметров (установки пяти размерных обозначений). При этом не имеет значения тип используемых размеров, а важно, чтобы они были независимы друг от друга. Если использовать локальную систему координат, начало которой, например, совпадает с центром окружности дуги, а одна из осей проходит через точку, соответствующую началу или концу дуги, то для определения той же фигуры достаточно два параметра. Иными словами, при описании фигуры в локальной системе по сравнению с глобальной экономится три параметра, так как не требуется задавать две координаты центра и одну координату точки начала / конца дуги.

Фигура, состоящая из двух и более сопряженных дуг. В таких фигурах для описания первой дуги требуется пять или 2 параметра в зависимости от используемой координатной системы ( глобальной или локальной). Для описания каждой следующей дуги независимо от координатной системы необходимо добавлять только два параметра. Уменьшение количества необходимых параметров объясняется тем, что, во-первых, каждая очередная дуга имеет общую точку с предыдущей, положение которой уже определено. Это экономит два размера (параметра), Во-вторых, в точке стыковки сохраняет свою непрерывность первая производная. Это условие заменяет действие еще одного размерного обозначения.

Таким образом, число независимых параметров, полностью описывающих форму и положение фигуры, образованной из N последовательно сопряженных дуг различного радиуса должно быть:

в глобальной системе координат - 2_*N + 3,

в локальной системе координат - 2_*N.

2. Замкнутые фигуры.

Замыкание фигуры последней сопрягаемой дугой может быть осуществлено двумя вариантами:

- с обеспечением простого попадания конца последней дуги в исходную точку первой дуги. При этом случае в точке замыкания при переходе от последней дуги к первой в общем нарушается непрерывность первой производной. Кривая претерпевает излом, и поэтому такие фигуры будем считать негладкими;

- с одновременным обеспечением плавного сопряжения в точке замыкания (гладкие фигуры).

При построении замкнутой фигуры по первому варианту для полного описания получаемой фигуры не требуется вводить никаких дополнительных параметров по сравнению с описанием разомкнутой фигуры. Это объясняется достаточно просто. Дорисовка очередной дуги сопряжения требует добавить в описание два новых размерных обозначения, например, для задания положения конечной точки этой дуги. Однако эта дуга – замыкающая. Она должна закончиться в начальной точке фигуры, а параметры этой точки определены при описании первой дуги.

Количество параметров, требующихся для однозначного описания гладкой фигуры, тоже неочевидно. На первый взгляд кажется, что за счет выполнения условия непрерывности производной в точке замыкания может быть сэкономлен один параметр по сравнению с первым вариантом негладкого замыкания. Однако в действительности для полного описания гладкой фигуры требуется меньше не на один, а на два параметра по сравнению с описанием негладкой фигуры. Экономия второго параметра происходит за счет того, что в общем случае накладывается еще одно дополнительное условие на положение конечной точки дуги, предшествующей замыкающей. Положение этой точки, а, следовательно, и начальной точки замыкающей дуги, удовлетворяет не одному, как это происходит в негладкой фигуре, а двум условиям. Точка является не только точкой сопряжения, но ее положение определяет величину радиуса дуги замыкания. Таким образом, для полного описания замкнутой гладкой фигуры из N дуг требуется устанавливать:

в глобальной системе - 2_*(N-1) + 3, а

в локальной системе - 2_*(N-1) параметров.

Интересно рассмотреть несколько частных случаев, связанных с гладкими фигурами.

Гладкие фигуры, как и негладкие, могут формироваться как только из дуг одного направления, так и дуг разных направлений.

Гладкие фигуры, составленные из дуг одного направления, могут быть только окружностями. Это соображение обосновывается следующими соображениями. Во-первых, центры каждой пары сопряженных дуг должны принадлежать одной прямой, перпендикулярной касательной к этим дугам в точке сопряжения. Во вторых, для того, чтобы фигура была гладкой и в точке замыкания, необходимо обеспечить равенство радиусов у всех без исключения дуг, составляющих фигуру. А это требует совпадения точек центра у всех дуг. Таким образом, дуги дополняют друг друга до окружности. В этом случае для описания всех этих дуг требуется только один или три параметра соответственно в локальной и глобальной системах.

Гладкие фигуры, состоящие из дуг разного направления, могут иметь разнообразную форму. Исключением является фигуры, составленные из трех последовательно сопряженных дуг. Для этой фигуры характерно то, что центры всех трех образующих их дуг лежат на одной прямой, причем одна из дуг имеет противоположное направление по отношению к двум другим. При этом размер каждой дуги в такой фигуре равен 180⁰. Для полного задания формы фигуры требуется устанавливать соответственно в локальной и глобальной системах координат два и пять независимых параметров.

3. Симметричные фигуры.

Установка параметров симметричных фигур всегда осуществляется в одной из локальных систем координат. При этом определение количества независимых параметров должно осуществляться на основе ранее приведенных выражений для локальных систем. Однако по сравнению с описанием несимметричных фигур учет условия симметрии позволяет сократить общее число параметров практически в два раза. Несложный анализ показывает, что количество параметров, описывающих симметричную фигуру, зависит от трех факторов – от количества дуг, ее составляющих, от того, четное их число или нечетное, и от условия замыкания. Количество независимых параметров, требуемое для описания таких фигур, составленных из N дуг сопряжения, приведено в Табл.1:

3. Координат точки сопряжения i-той дуги с (i-1)-ой при известных значениях радиусов i-ой и (i+1)-ой и углов (i-1)-ой и (i+1)-ой дуг.

1. Лячек Ю. Т., Нахимовский Я. А.., Павлов С. Н. Аналитико-синтетический метод формирования параметрических моделей конструкторских чертежей / Труды 5 межд. конференции по компьютерной графике и визуализации “Графикон-95”, С-Пб., 1995, том 1, с. 71-78.