2 Институт высокопроизводительных вычислений и баз данных, С.Петербург (Россия)

Формальные процедуры, лежащие в основе функционирования ИС, предполагают широкое использование измерительной информации и методов математического моделирования. Решение прикладных задач анализа и прогноза поведения динамического объекта в ИС ведется статистическими методами с привлечением теории планирования эксперимента. Информация, получаемая от датчиков динамических измерений в процессе нормальной эксплуатации объекта представляет собой данные пассивного эксперимента. Активный эксперимент используется только на этапе тестирования и адаптации ИС. При использовании данных активного эксперимента проблема выбора наилучшего математического описания может быть решена классическими методами планирования. В случае пассивного эксперимента эта проблема требует специальных подходов, учитывающих адекватность описания, дисперсию оценок и вычислительные трудности из-за вырождения информационной матрицы [1-11]. Для обратных задач математической физики в ИС типичными являются ситуации, когда наблюдение реализуется не “в точке”, а “на функционале”, что приводит к задачам с бесконечной областью планирования.

Понимая под планом эксперимента x вероятностную меру на области планирования U с конечным носителем sup x = {hI U, x(h)? 0} и обозначая через H₁ конечномерное подпространство некоторого пространства H (H_1I H), которому принадлежит функция регрессии, будем считать, что по условиям реального эксперимента могут быть использованы только планы из допустимого множества [4-7]

J_N := {x I J_N : card(sup x) ? n},

где n – число, характеризующее ограниченность ресурсов.

Выбор пространства оценивания H₁=H_x и оператора оценивания S=S_x обеспечивает при фиксированном плане xI J_N нахождение наилучшего в метрике пространства H приближения к произвольному элементу h из H. При этом пространство оценивания H_x должно обеспечивать построение оценки неизвестного элемента hI H.

Задача выбора процедуры p=(x, H₁, S) восстановления h из H на множестве допустимых процедур p является двухкритериальной. В этих условиях поиск оптимальной процедуры p^* удобно вести на основе решения задачи оптимизации с приоритетом, учитывающим систематическую ошибку.

p^* = Arg inf B_g(p), (1)

где g – вероятностная мера, используемая для осреднения систематической ошибки B(x, H₁, S)

S – оператор, с помощью которого производится оценка неизвестного элемента hI H.

Для характеристики случайной ошибки используют функционал F(x,H₁,S) от корреляционного оператора оценки (определитель , след tr или другие критерии), и тогда

(2)

где – множество процедур p^*, являющихся решением задачи (1).

рассматривается в предположении, что носитель плана sup x определен однозначно из решения задачи (1), но имеется свобода в выборе весов наблюдений P_j (j = 1, m). Это позволяет минимизировать случайную ошибку при следующих условиях

x^*(P):=(h,..., h ,P₁,...,P_m);

P^*=Arg inf F[D_x*(P)],

где P := {PI R^m; P_j > 0, j=1,m, S};

D_x*(P)– корреляционный оператор, определяемый как D_x = (M_x – информационный оператор).

(4)

Синтез D-оптимальных планов измерений осуществляется на основе итерационной процедуры с использованием функции

d(l,x)=sup[M^-1(x)M(l)] (5)

(6)

(7)

где w_n – частота спектрального разложения стационарной случайной функции (входного процесса); P_n – ординаты непрерывного спектра этой функции; звездочкой (*) помечены комплексно сопряженные частотные характеристики.

M(w)=1/2p [F^*(iw)F^T(iw)+F(iw)F^*T(iw)] (8)

d(w,x)=sup[M^-1(x)M(w)], (9)

лежащую в основе алгоритмов синтеза D–оптимальных планов эксперимента.

W_w = [-w_k, +w_k] (10)

где [-w_k, +w_k] – диапазон частот, определяющий полосу пропускания исследуемого динамического объекта.

Y = X b + e; (11)

E(e) = 0, cov(e) = s² I

где X – (N? k) – матрица наблюдений регрессоров x_j; b – вектор-столбец значений неизвестных коэффициентов размерности (k+1); e – вектор-столбец значений регрессионной ошибки размерности (k+1); Y – вектор-столбец выходной переменной; E – оператор математического ожидания; I – единичная матрица; N – объем выборки; k – число регрессоров; s² – дисперсия воспроизводимости.

Точность прогноза модели (11) определяется дисперсией ошибки предсказания. Для (N+1) наблюдения по адекватной модели эта дисперсия равна

(12)

где X_N+1,k – вектор-строка размерности (1? k).

Для сопоставления дисперсий моделей с “недобором” и “перебором” регрессионных переменных относительно истинной зависимости выражение (12) преобразуется к виду [10]:

(13)

где l_k – параметр нецентральности t-распределения с N-k степенями свободы

– выборочная дисперсия переменной x_k; – выборочный коэффициент множественной корреляции переменной x_k с остальными независимыми переменными x₁, ... , x_k-1, вычисленный по данным матрицы наблюдений X.

(14)

(15)

Здесь b_k – значение коэффициента при k-ой неучтенной переменной x_k; x_N+1,k – значение (N+1)-го наблюдения k-ой переменной; – регрессия переменной на остальные переменные ; – вектор-столбец коэффициентов размерности (k-1)? 1.

что следует из сопоставления (12) и (15). При этом равенство дисперсий достигается только при .

где b_k – k-й коэффициент регрессии; f_k(u) – k-ая базисная функция (f₁(u)? 1); u = (u₁, ..., u_M)^T – вектор факторов пассивного эксперимента; M – число факторов; K – общее число слагаемых. При этом факторы кодированы, а модель наблюдения имеет вид Y = h + e.

S₀ – остаточная сумма квадратов

Системный анализ задачи выбора наилучшей полиномиальной регрессии [11] позволяет сформулировать подход к определению степени m_opt алгебраического многочлена P_m(c,x), наиболее точно аппроксимирующего заданную экспериментальную зависимость {y_n, x_n}. Суть его состоит в дополнении классического метода (выбор в качестве m_opt величины m, доставляющей минимальное значение сумме квадратов отклонений) описанием способа измерения экспериментального массива {y_n}

y_n = g(G(x_n) + e_n)

где G(x_n) – некоторая функция; e_n – случайные ошибки (n=1,N).

Вычислительные трудности при реализации алгоритмов обработки измерительной информации пассивного эксперимента связаны с процедурой обращения матрицы X^TX системы нормальных уравнений [1,6,7]

(X^TX)^-1b = X^Ty (16)

Как показывают результаты вычислений, обусловленность информационной матрицы X^TX существенно хуже, чем матрицы X. Если l_max и l_min – наибольшее и наименьшее сингулярные числа матрицы X, а и – матрицы X^TX, то при небольшом l_N число может иметь порядок, сравнимый с порядком погрешностей. В результате матрица X^TX становится почти вырожденной, тогда как матрица X таким свойством не обладает.

При решении плохообусловленных задач МНК используют методы псевдообращения, обеспечивающие работу вычислительных процедур в условиях вырожденности. Псевдообратная матрица X^* существует для любой матрицы X, и для любого вектора

является вектором с минимальной нормой среди всех векторов, минимизирующих сумму квадратов отклонений .

Сравнительный анализ экспериментальных данных с помощью различных подходов обращения матриц позволяет выделить прямой метод Гревилла [1], позволяющий работать непосредственно с матрицей X. Эта матрица лучше обусловлена, чем матрица X^TX. В результате существенно повышается устойчивость к погрешностям округления.

В случае использования нелинейных по параметрам моделей возникает проблема оценок коэффициентов регрессии. При некомпактности априорного множества параметров такая оценка может вообще не существовать (не достигается минимум суммы квадратов отклонений).

1. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекурентное оценивание. – М.: Наука, 1977.
2. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай А.М. Планирование промышленных экспериментов. – М.: Металлургия, 1978.
3. Draper N.R., Smith H. Applied regression analysis.– J.Wiley, New York, 1981.
4. Математические методы планирования эксперимента. – Новосибирск: Наука, 1981.
5. Математическая теория планирования эксперимента. – М.: Наука, 1983.
6. Нечаев Ю.И. Моделирование остойчивости на волнении. Современные тенденции. – Л.: Судостроение, 1989.
7. Нечаев Ю.И. Особенности планирования и анализа полунатурного гидродинамического эксперимента.// Сб.докл.всесоюзной научно-технической конференции “Повышение эффективности экспериментальных исследований гидродинамики судна для решения проблемных задач в судостроении”. Л.: Судостроение, 1991, с.130-135.
8. Нечаев Ю.И. Принципы использования измерительных средств в бортовых интеллектуальных системах реального времени. //Тр.V национальной конференции по искусственному интеллекту. Казань. 1996, т.2, с.362-364.
9. Планирование эксперимента в исследованиях технологических процессов. – М.: Мир, 1977.
10. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.: Мир, 1980.
11. Чебраков Ю.В. Системный анализ задачи о выборе наилучшей полиномиальной регрессии. //Изв.вузов. Приборостроение, 1997, т.40, №1, с.16-23.