 |
||
|
||
2. Основные рекуррентные формулы.
Перепишем уравнение для t
: x2-x-1=0 в виде: x2=x+1 , подставим туда t и, почленно умножив на t n-2 , получим:t n= t n-1+ t n-2
(**)С использованием этой формулы выводятся некоторые важные свойства Золотой Пропорции (и особенно, как будет показано в дальнейшем, основные свойства квадрата Золотой Пропорции t
2 , который, по-видимому, является вполне самодостаточной константой.)
Пожалуй, самые красивые формулы для З.П., вытекающие из
(**) при n=1 и n=2 - следующие:n=1 : t -1= t - 1
n=2 : t = t 2 – 1
То есть, для наглядности:
t -1 = 0,61803…..
t = 1,61803…..
t 2 = 2,61803…..
Понятно, что З.С. – единственное число, обладающее такими свойствами.
Отвлечемся от числа t
и выведем формулу для квадратов чисел Фибоначчи. (Нижеследующая формула и ее доказательство подсмотрены у А.П. Стахова).Введем матрицу:
|
Q = |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
Заметим, что
det Q = -1 .Возведем матрицу в
n – ую степень. Получим:
|
Q n = |
Fn+1 |
Fn |
|
Fn |
Fn-1 |
Где
Fn – числа Фибоначчи.Отсюда
det (Q n) = -Fn2 + Fn-1*Fn+1 = (det Q) n = (-1) n ,т.е.
Fn-1*Fn+1 - Fn2 = (-1) n .То есть квадрат любого числа Фибоначчи отличается от произведения предыдущего и последующего членов последовательности ровно на единицу!
Похожая формула будет показана далее для квадратов З.С.
далее
| Site of Information
Technologies Designed by inftech@webservis.ru. |
|