оглавление

5. О целых числах, близких к t ²ⁿ .

В приведенной ранее “Таблице разложения натуральных чисел по t ² ” обращают на себя внимание числа, выделенные жирным шрифтом.

Последовательность чисел такого вида уходит в бесконечность и составляет своего рода “скелет” натурального ряда в смысле разложения по t ² .

Иными словами, t ²ⁿ = n_i - t ^-2n , где n_i – ближайшее целое. Это – одно из самых удивительных свойств З.С., точнее – свойств квадрата З.С.

Обозначим T = t ² , тогда n_i = ∑a_n t ²ⁿ = t ²ⁿ + t ^-2n = Tⁿ + T^-n .

Перемножим 2 числа вида n_i :

Мы получили, что перемножение чисел вида n_i сводится к сложению чисел из этой же последовательности: n_i+j + n_i-j .

Пример:

Рассмотрим случай i = j :

Пример:

Заметим, что нулевым членом последовательности n_i удобно считать число 2.

Формулу (1) можно применять для расчета чисел вида n_2i : n_2i = n_i² – 2 .

А взяв за основу только одно число n₁ = 3 , мы можем рассчитать все числа вида t ^k , где k = 2ⁱ .

Вернемся к случаю i > j . Наглядно результат перемножения чисел n_i и n_j выглядит так:

n_i * n_j = 10 ….. 010 ….. 00, ( отрицательная часть ) , где первая единица стоит на (i+j) – й позиции, вторая – на (i-j) – й. Между ними находятся 2j-1 нулей.

Применяя формулу (*) , получаем:

Эта формула применима для расчета нечетных членов последовательности и, следовательно, приблизительного расчета нечетных степеней числа t ² .

Соотношения (1) и (2) дают возможность быстро рассчитать некоторые большие степени З.С. Для расчета (не столь быстрого, но очень простого) всех степеней числа t ² выведем из (*) рекуррентную формулу:

n_i-1 * n₁ = n_i + n_i-2 , отсюда, учитывая, что n₁ = 3 , получаем:

Пользуясь формулами (1) - (3) и оценочной формулой t ²ⁱ = n_i - t ^-2i , можно приблизительно рассчитать любое число t ²ⁱ , причем чем больше i, тем точнее приблизительный результат.

далее