 |
||
|
||
Калюжный О.Н.
Оригинал статьи расположен на сайте 314159.ru
О рекурсивности психического процесса принятия решения. Задача о “хорошей” и “плохой” кучках.
В данной статье будет представлена модель, описывающая один из психических процессов, а именно – психический механизм принятия решения.
Эта модель возникла для описания следующего (достаточно известного) эксперимента.
Испытуемому лицу предлагается рассортировать поступающие к нему предметы на 2 кучки: в одну кучку надо положить те предметы, которые ему понравились, а в другую – те, что не понравились. Для чистоты эксперимента лучше, если предметы будут одинаковыми (например, одинаковые шарики), а число поступивших шариков должно быть достаточно велико. Далее вычисляется отношение количества шариков в одной кучке к количеству шариков в другой. Проведение этого эксперимента на практике дает результат, близкий к t
= 1,618 … - Золотой Пропорции.Для объяснения этого результата построим следующую математическую модель.
Пусть в результате рассмотрения очередного поступившего шарика подопытный либо, с вероятностью ½, принимает решение о том, что шарик – “хороший” (т.е. кладет его в кучку
A); либо, с вероятностью ½, не принимает такого решения и шарик становится кандидатом на попадание в кучку B. Далее – принимается (с вероятностью p) или не принимается (1-p) решение о попадании в кучку B. В случае непринятия этого решения процесс возвращается на исходную позицию и размышления над этим же шариком начинаются с начала. Вкратце эти размышления можно описать еще и так:“А хорош ли этот шарик? (Да -
A) Если не хорош, то хороша ли моя мысль о том, что шарик не хорош? (Да – B, нет – все сначала, т.е.: “А хорош ли этот шарик?”…)”.Получился рекуррентный процесс; этот процесс может завершиться как на 1-м шагу, так и на сколь угодно большом, т.е. шарик может рассматриваться бесконечное число раз. Отметим, что вероятность того, что число шагов будет бесконечно, равна нулю.
Рис. 1 “Простая” модель
Отметим также, что вероятность попадания шарика в кучку
A больше ½, т.к. шарик может попасть в нее не только на 1-м, но и на любом другом шаге.Но это еще не вся схема: необходимо усложнить процесс.
Спрашивается: что это за константа
p ? (Будем называть ее вероятностью принятия решения или решительностью) Чем обусловлено ее равенство у всех людей, почему она не зависит, скажем, от возраста или пола?Для ответа на этот вопрос представим себе, что принятие решения “о правильности решения о попадании в кучку
B” (“решение-2”) происходит по той же схеме: с вероятностью ½ “решение-2” объявляется правильным и шарик попадает в кучку B; с той же вероятностью ½ “решение-2” отвергается и возникает вопрос о принятии “решения-3”, т.е. о том, стоит ли принимать “решение-2”. Таким образом можно избавиться от априорного введения в модель константы p.
Рис. 2
“Рекурсия вглубь”.
К изучению только что описанной углубленной модели вернемся чуть позже, а пока изучим случай, изображенный на рис.1.
Вычислим вероятность попадания шарика в большую (“позитивную”) кучку
A.P(A) = 1/2 + (1-p)*1/2*1/2 + (
)2 * 1/2 + …..
Здесь
()k - вероятность
того, что шарик k раз попадал в кучку
B, но решение было признано
неверным.
Свернем этот ряд и получим:
P(A) = 1/2 * 
=
.
Тогда
P(B) = 1 – P(A) =
и 
= p .
Если перейти от вероятностей к мат. ожиданиям, то, в силу независимости наблюдений:
= p ,
т.е. искомая пропорция (отношение числа шариков в кучках) и есть вероятность принятия решения, обозначенная как
p.
Вернемся к “усложненной” схеме. Хотя в ее описании и отсутствуют какие-либо константы (за исключением 1/2), будем пока манипулировать
p – вероятностью принятия решения.Заметим, что схемы действий на любом из шагов добавленной “рекурсии вглубь” эквивалентны между собой и, следовательно, величина
p не зависит от шага. То есть p – “решительность”, независимо от того, в каких условиях она проявляется. На 2-м шаге “рекурсии вглубь”, т.е. при принятии “решения о правильности предыдущего решения” разделим условно кучку B на 2 части: B1 и B2.
Рис.3
В
B1 условно будут попадать шарики, “решение-2” по которым в конце концов принято, а в B2 - остальные.Проведя те же рассуждения, какие были проведены для “простой” модели, получим:
P(B2) = 
, P(B1) = 
.
Таким образом, с одной стороны, вероятность принятия решения о попадании в
B равна p; с другой стороны, она же равна .
Получилось уравнение:
p = (1)
Ранее было показано, что
p =
.
Обозначим пропорцию
t =
( t = 1/p ) .
Тогда (1) эквивалентно:
= 
,
т.е.
t 2 / (1+t ) = 1 ,т.е.
t 2 - t - 1 = 0 .Единственным положительным решением этого уравнения является Золотая Пропорция!
Получается, что, в рамках описанной схемы, “решительность” любого человека можно обозначить одним и тем же числом, равным Золотой Пропорции.
Осталось заметить, что для получения уравнения (1) достаточно лишь 2-х шагов “рекурсии вглубь”, но при применении большего числа шагов мы приходим к тому же уравнению (1) и к тому же решению.
Это свойство предложенной схемы является следствием самоподобия числа t
.Достаточность 2-х шагов приводит к мысли, что львиная доля времени, уходящего на принятие решения, уходит на рекурсию выбора между 2-мя решениями, а не на “рекурсию вглубь”…
В заключение предлагаю отвлечься от математики и обратить взоры на политику. Точнее – на американскую систему выборов, привитую сейчас и на постсоветском пространстве. Любопытство вызывает следующий факт: выбор всегда сводится к выбору между 2-мя кандидатами. Видимо, эта схема является наиболее проработанной и легко просчитываемой. Недаром самые бурные и криминальные страсти разгораются там, где появляется “третий-лишний”. Даже если первые двое и не являются друзьями и единомышленниками. Такие вот околонаучные ужасы.
| Site of Information
Technologies Designed by inftech@webservis.ru. |
|