 |
||
|
||
1. Определения Золотой Пропорции и чисел Фибоначчи.
Четыре
основные константы.
Определение 1:
Разделим отрезок точкой на 2 части так, чтобы отношение целого к большей части было равно отношению большей части к меньшей части:|-----------------|-----------|
a b
(a+b)/a=a/b=t
Величина этого соотношения называется Золотой пропорцией
.t =1,618033989…….
Заметим, что эквивалентное определение задается уравнением:
t 2-t -1=0
Получается это следующим образом:
(a+b)/a=a/b è (t b+b)/t b=(t b)/b è (1+t )/t =t è t 2-t -1=0.
Данное уравнение имеет 2 решения:
(1+Ö 5)/2 и (1-Ö 5)/2 , одно из которых равно t , а другое равно -t -1.
Определение 2:
Последовательностью Фибоначчи называется последовательность натуральных чисел, заданная рекуррентным соотношением:Fi = Fi-1 + Fi-2 (*)
и начальными условиями:
F1 = F2 = 1 .Вот первые члены этой последовательности:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …………
Числа Фибоначчи связаны с Золотой Пропорцией предельным соотношением, которое можно обозначить как еще одно эквивалентное определение Золотой Пропорции:
Определение 3:
Золотой Пропорцией называется следующий предел:t = lim Fi / Fi-1 , i à ¥ (1)
где
Fi – числа Фибоначчи.
Интуитивно понятно, почему это так: здесь просматривается аналогия с Определением 1 . Пусть
Fi – целое, тогда Fi-1 и Fi-2 – соответственно, большая и меньшая части разбиения Fi = Fi-1 + Fi-2 . Однако, начальные условия F1 = F2 = 1 не позволяют получить для членов последовательности точного значения t : 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5 , ……. ; равенство (1) достигается лишь на бесконечности.
И последнее определение, которое почему-то обычно не используется в литературе. Вопрос в том, можно ли корректно расширить последовательность Фибоначчи на всю ось целых чисел?
Возьмем за основу рекуррентное соотношение:
Fi = Fi-1 + Fi-2 и те же начальные условия: F1 = F2 = 1 .Пусть теперь
i Î (-¥ ,¥ ). Тогда F0=F2-F1=0, F-1=F1-F0=1, F-2=F0-F-1=-1 .Итак,
Определение 4: Расширенной последовательностью Фибоначчи назовем последовательность {
F*}, заданную теми же рекуррентным соотношением и начальными условиями, что и обычная последовательность Фибоначчи, но i Î (-¥ ,¥ ).Получившийся ряд выглядит так:
….… 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …….
Замечание:
Первое, что приходит в голову при взгляде на расширенный ряд {F*} – попробовать инвертировать знаки, т.е. помножить на (-1) :….… -13, 8, -5, 3, -2, 1, -1, 0, -1, -1, -2, -3, -5, -8, -13, …….
Получившаяся последовательность
{-F*}, соответствует тому же соотношению (*), но с другими начальными условиями: F1 = F2 = -1 .Здесь
также lim –F*i / -F*i-1=t , i à ¥
Исследуем теперь случай
i à -¥ :F*i / F*i-1 è -t (Также и для отрицательного ряда: –F*i / -F*i-1 è -t ) .
Видоизменим Золотую Пропорцию следующим образом:
(b-a)/a=a/b=t ’ , a, b > 0
Тогда t
’ удовлетворяет уравнению:x2+x-1=0 ; его корни: x=(-1+Ö 5)/2 и x=(-1-Ö 5)/2
Т.е. корни этого уравнения равны
-t и t -1.Итак, мы получили 2 пары констант: t
, -t -1 и -t , t -1и увидели, что направленная в +¥ Часть ряда Фибоначчи соответствует уравнению
x2-x-1=0 ,
а направленная в –¥ – уравнению
x2+x-1=0 .
|
Константа |
Предел |
Уравнение |
Доп. константа |
|
t |
i à ¥ |
x2-x-1=0 |
- t -1 |
|
- t |
i à - ¥ |
x2+x-1=0 |
t -1 |
далее
| Site of Information
Technologies Designed by inftech@webservis.ru. |
|