Процесс обучения, заключающийся в формировании проводимостей регулируемых резисторных элементов преобразующей матрицы, аналогичен формированию условных рефлексов в живой природе. Если в какой-либо ситуации сигнал управления отдельным исполнительным органом не удовлетворяет обучателя, он подает обучающий сигнал на соответствующий столбец резисторной матрицы. Это можно осуществить, например, нажимая кнопку из токопроводящей резины, в виде которой выполнен элемент коммутации распределителя сигналов обучения. Чем сильнее усилие нажатия кнопки, тем больше значение обучающего сигнала, подаваемого на соответствующие преобразователи проводимостей резисторных элементов. При этом может исказиться сигнал управления данным исполнительным органом в другой ситуации. Его аналогично корректируют до требуемой величины. Затем переходят к следующей ситуации, соответствующей очередному шагу обучения. Проведя обучение во всех ситуациях обучаемой выборки, снова возвращаются к первой и т.д. Как говорится, повторение – мать учения.
Примем, что в любой ситуации сигнал управления отдельным исполнительным органом определится как

где j – номер ситуации; m – общее количество рецепторов; b_ij – возбуждение i-го рецептора в j-ой ситуации; c_i – весовой коэффициент i-го рецептора.
Задача обучения сводится к определению весовых коэффициентов c_i. В реальных условиях, когда в общем случае не определено общее количество ситуаций решаемой задачи, определение значений c_i может быть только итерационным, т.е. путем постепенного приближения. Именно в этом состоит процесс обучения. Он позволяет определить поправку всех весовых коэффициентов D c_i на очередном шаге обучения с учетом ошибки D E_j , определяемой как разность между желаемым и действительным значениями сигнала управления. Эту ошибку определяет обучатель.
Так как все рецепторы системы очувствления обезличены, то в процессе обучения не может осуществляться индивидуальная корректировка каждого из них. Корректировка должна проводиться общей для всех рецепторов командой. Принципом корректировки весовых коэффициентов рецепторов является изменение их значений пропорционально общей ошибке D E_j и возбуждению каждого рецептора b_ij:

D c_i = K_j · D E_j · b_ij ,__________________(2.2)

где K_j – общая команда на корректировку в j-ой ситуации.

Если задаться целью сведения ошибки D E_j после обучения на данном шаге к нулю, то очевидно

Команда K_j определится из совместного решения (2.2) и (2.3):

Таким образом, на каждом t-м шаге обучения значение i-ого весового коэффициента определится выражением:

Выражения (2.1) и (2.6) составляют вычислительную модель обучаемой системы управления. Вычислительная модель может использоваться в качестве универсального алгоритма управляющих вычислительных машин (микропроцессоров и в том числе ЧПУ), работающих в режиме обучаемых систем управления.
Схема алгоритма расчета весовых коэффициентов представлена на рис.2.1. В блок-схеме алгоритма r – показатель, по которому определяется, для всех ли ситуаций обучаемой выборки фактические выходные сигналы входят в пределы допустимых отклонений d _E (в этом случае r = 0).

Рис.2.1. Алгоритм расчета весовых коэффициентов

Настройка проводимостей резисторных элементов матрицы технического мозга может быть неудобной в том случае, когда нет возможности изолировать каждый такой элемент. В этом случае предпочтительным является настройка, основанная на коррекции долей сигнала управления e_ij, определяемых отдельными рецепторами:

e_ij = c_i · b_ij ._____________________(2.7)

С учетом того, что поправка D c_ij проводимости i-го элемента технического мозга в j-ой ситуации зависит от погрешности сигнала управления D E_j и от возбуждения соответствующего рецептора b_ij , имеем

Поправка доли D e_ij сигнала управления определится как

Учитывая, что сумма поправок долей должна полностью устранять погрешность сигнала управления в данной ситуации на t-ом шаге обучения, получим аналитическое выражение для расчета элементарных рецепторных долей сигнала управления:

где t – номер данного шага обучения.

Полученное выражение позволяет рассчитать доли сигнала управления от отдельных рецепторов в некоторой опорной ситуации, что позволяет настроить матрицу технического мозга в этой ситуации так, что он будет формировать правильные сигналы управления во всех ситуациях обучаемой выборки.
Доли сигналов управления удобно пересчитывать относительно некоторой опорной ситуации, в которой затем осуществляется настройка матрицы мозга. В качестве опорной может быть выбрана любая ситуация обучаемой выборки или не входящая в выборку, но реальная ситуация, которую можно воспроизвести для настройки полученных значений долей сигнала управления.

Порядок расчета долей сигнала управления следующий.
1. Предъявляют очередную ситуацию обучаемой выборки и определяют фактический сигнал управления:

где индекс "о" означает опорную ситуацию.

D Е_j = Е_j – Е_f.

D Е_j < d _{E j} ,

где d _{E j} – допустимое отклонение сигнала управления Е_j . Если условие соблюдается, то предъявляют следующую ситуацию обучаемой выборки; если условие соблюдается во всех ситуациях обучаемой выборки, то расчет прекращают.

Как видно из формулы (2.6), алгоритм обучения представляет собой вариант решения системы линейных алгебраических уравнений, известный как рекуррентный алгоритм Качмажа. При этом формулу (2.1) можно представить в виде:

Если система уравнений (2.9) совместна, то данный алгоритм приводит к ее решению, т.е. определению весовых коэффициентов c_i , обеспечивающих заданные выходные сигналы обучаемой системы E_j во всех ситуациях обучаемой выборки, характеризуемых признаками b_ij .
Может возникнуть вопрос: как быть, если система уравнений (2.9) не совместна или, говоря языком обучаемых систем, ситуации обучаемой выборки – противоречивы? Основной причиной противоречивости для обучаемых систем управления является недостаточность информации об окружающей обстановке. Примером противоречивости может служить случай, когда в ситуациях обучаемой выборки, характеризуемых одинаковыми b_ij, обучатель требует различных сигналов управления. Такое может произойти в случае, когда для обучателя очевидно, что данные ситуации различны, а рецепторы очувствления системы управления фиксирует только те признаки, которые для данных ситуаций совпадают.
Один из путей решения проблемы противоречивости – увеличение числа рецепторов системы, фиксирующих больше характеристик ситуаций обучаемой выборки. Действительно, трудно требовать от системы, имеющей, скажем, три рецептора, выполнения сложных функциональных задач. Кстати, число рецепторов биологических объектов исчисляется миллионами, к примеру человеческий глаз содержит примерно 125 миллионов рецепторов (палочек и колбочек). Процесс обучения в этом случае не только не увеличивается, но и, как известно из математики, наоборот, сокращается.

Далее следует отметить, что в реальных технических системах сигналы управления задаются с некоторым допуском, т.е. допустимым отклонением от номинального значения, причем величина этого допуска в некоторых ситуациях может быть значительной, вплоть до того, что задается только знак сигнала, положительный или отрицательный. Итак, сигнал управления в j-ой ситуации задается в пределах, определяемых выражением

где d _Ej^(–) – нижнее отклонение сигнала управления в j-ой ситуации, d _Ej⁽⁺⁾ – верхнее отклонение сигнала управления в j-ой ситуации.
Кроме этого, процесс обучения обучаемой системы характеризуется своей незавершенностью. Если в процессе работы в какой-либо ситуации сигнал управления выходит за пределы допуска, систему дообучают в этой ситуации, и работа ее продолжается.

Рассмотрим процесс обучения системы управления формированию выходных сигналов E₁ и E₂, соответствующих ситуациям A₁ и A₂, представленных образами B₁ и B₂ с наборами признаков:

B₁: ___ b₁₁, _b₂₁, _b₃₁, _ . . . , _b_m1 ;
B₂: ___ b₁₂, _b₂₂, _b₃₂, _ . . . , _b_m2 .

Для определения закономерностей процесса обучения используем вычислительную модель обучаемой системы управления [61 – 68]. Обучение состоит в поочередном предъявлении ситуаций с корректировкой весовых коэффициентов признаков. Каждое предъявление ситуации – шаг обучения, поочередное предъявление всех ситуации – цикл обучения. На каждом шаге p обучения весовые коэффициенты корректируются в соответствии с выражением

где c_i(p) – весовой коэффициент i-го признака на p-м шаге обучения; c_i(p–1) – значение весового коэффициента i-го признака на предшествующем шаге обучения; E_j(p–1) – значение выходного сигнала в j-ой ситуации, определяемое весовыми коэффициентами, полученными после p–1 шага обучения. Начальные значения весовых коэффициентов (до начала обучения) приняты равными нулю.

Величина абсолютной ошибки формирования выходного сигнала на t-ом цикле обучения определится выражением

где E_j(t) – значение j-го выходного сигнала на t-ом цикле обучения.
Абсолютная ошибка формирования выходного сигнала для первой ситуации на первом цикле обучения:

т.к. начальные значения весовых коэффициентов c_i(0) = 0 .
Таким образом, величина абсолютной ошибки формирования выходного сигнала для первой ситуации на первом цикле обучения:

D E₁(t) = – Z₁₂ · (E₂ – E₁·Z₂₁) · (Z₂₁·Z₁₂)^t–2 , _________________(2.10)
D E₂(t) = (E₂ – E₁·Z₂₁) · (Z₂₁·Z₁₂)^t–1 .__________________ _____(2.11)

Анализ выражений (2.10) и (2.11) показывает, что скорость обучения выработке выходных сигналов для двух ситуаций зависит от соотношения величин требуемых сигналов E₁ и E₂ и от значений коэффициентов приведения образа первой ситуации к образу второй – Z₂₁ и образа первой ситуации к образу первой – Z₁₂.

характеризует степень сходства (совпадения) двух образов и не может быть больше единицы.
Соответственно, величина D, равная:

Если соответствующие признаки образов полностью совпадают или отличаются друг от друга в одной и той же пропорции, то S=1, при этом обучение возможно только в случае, если требуемые выходные сигналы отличаются в той же пропорции, что и их признаки. В общем случае S<1, и, чем меньше значение S, тем быстрее идет обучение. При S=0, когда для всех признаков двух образов ситуаций один из соответствующих друг другу признаков имеет нулевое значение (полное отличие образов), для обучения достаточно одного цикла. В терминах векторной алгебры, степень совпадения двух образов равна квадрату косинуса угла между векторами B₁ (b₁₁, b₂₁, b₃₁, ... , b_m1) и B₂ (b₁₂, b₂₂, b₃₂, ... , b_m2).

D E₁(t) = – Z₁₂ · (E₂ – E₁·Z₂₁) · S ^t–2 , ______________________(2.13)
D E₂(t) = (E₂ – E₁·Z₂₁) · S ^t–1 . ____________________________(2.14)

Из выражений (2.13) и (2.14) можно определить необходимое для обучения число циклов, если задаться допустимыми отклонениями формирования выходных сигналов d _E . При симметричном допуске на выходные сигналы обучение можно считать законченным, когда для всех образов значения абсолютных ошибок сигналов будет отвечать условию: D E £ d _E / 2 . Тогда число циклов находится из выражений:

t₁ = log_S { – d _E1/ [2 Z₁₂ · (E₂ – E₁·Z₂₁)]} + 2 , _________(2.15)
t₂ = log_S { d _E2 / [2 (E₂ – E₁·Z₂₁)]} + 1 , ______________(2.16)

где d _E1 и d _E2 – допустимые отклонения формирования выходных сигналов для первого и второго образов, симметричные относительно номинальных значений.
Как видно из выражений (2.15) и (2.16) зависимость продолжительности обучения от заданной точности определяется логарифмическим законом.
Большее из двух значений t₁ и t₂ является необходимым числом циклов обучения формированию выходных сигналов для двух образов с заданной точностью.
Весовые коэффициенты каждого признака образа ситуации, сформировавшиеся после t циклов обучения, определяются выражением

Зная необходимое число циклов обучения, значения признаков и требуемых выходных сигналов двух образов, по формуле (2.17) можно вычислить значения весовых коэффициентов всех признаков образов, обеспечивающих заданную точность формирования выходных сигналов.
Для двух образов, отвечающих условию S < 1 , значения весовых коэффициентов стремятся к пределу, определяемому по формуле

другими словами, для двух образов, степень отличия которых: D>0, – процесс обучения сходится всегда.

Процедура обучения состоит в поочередном предъявлении ситуаций обучаемой выборки, причем каждое предъявление ситуации – это шаг обучения. На каждом шаге обучения происходит корректировка проводимостей резисторных элементов преобразующей матрицы. Обучение может быть циклическим, когда предъявление ситуаций обучаемой выборки повторяется в одном и том же порядке до конца обучения. Может быть установлен и любой другой определенный порядок предъявления ситуаций. Кроме этого, обучение может быть произвольным (неупорядоченным), когда порядок предъявления ситуаций не устанавливается и может носить случайный характер.

Допустим, для обучения робота с обучаемой системой управления использовалось N ситуаций, составляющих обучаемую выборку. Обучение закончилось за M шагов. Для определения закономерностей процесса обучения будем рассматривать обучение не как циклическое, произвольное или с заданным порядком предъявления ситуаций, а как последовательное предъявление M ситуаций. Такое представление включает в себя все многообразие возможных процедур обучения. Кроме этого, реально при обучении методом “вождения за руку” ситуации абсолютно точно могут и не повторяться вообще, однако такое обучение возможно, и его можно считать последовательным. Далее обучение может идти с учетом фактора времени, т.е. в систему очувствления могут быть включены датчики времени, и уже поэтому такие ситуации не могут повториться (как говаривал Гераклит: “Нельзя дважды войти в одну и ту же реку”). Такое обучение может быть только последовательным. В связи с этим следует отметить, что обучение биологических систем (выработка условных рефлексов), строго говоря, – последовательное [67].

Примем исходные значения весовых коэффициентов равными нулю, тогда на первом шаге обучения получим фактическое значение выходного сигнала E₁^(f) = 0.

После корректировки весовых коэффициентов на этом шаге обучения получим выходной сигнал, равным E₁.

где Z₂₁ – коэффициент приведения второй ситуации к первой.
Повторив те же математические операции, на третьем шаге обучения, получим:

где Z₃₁ – коэффициент приведения третьей ситуации к первой,
Z₃₂ – коэффициент приведения третьей ситуации ко второй.

Число членов с одинаковым числом сомножителей Z в скобках соответствует числам так называемого треугольника Паскаля, каждое из которых получается сложением соседних чисел вышестоящей строки:

Так число членов с одинаковым числом сомножителей Z в скобках четвертого слагаемого соответствует четвертой строке треугольника Паскаля.
Таким образом, на любом шаге величина фактического сигнала управления обучения будет определяться выражением

где Г(a ,b ) = 1 при a =1, при b =1 и при a =b ;
Г(a ,b ) = a –1 при b =2 ,
Г(a ,b ) = b при a – b =1 и
Г(a ,b ) = Г(a –1, b –1) + Г(a –1, b ) при a – b > 1 ,

Индексы J₁ и J₂ чередуются определенным образом, охватывая ситуации в интервале от j–a до j .
При d = 1 первый индекс J₁(j,a ,b ,d ,g ) = j – a ,
во всех остальных случаях J₁(j,a ,b ,d ,g ) = J₂(j,a ,b ,d –1,g ) .
При d = b второй индекс J₂(j,a ,b ,d ,g ) = j ,
если d ¹ b и g = 1 , то J₂(j,a ,b ,d ,g ) = J₁(j,a ,b ,d ,g )+1 ,
если d ¹ b и g ¹ 1 и при этом для данного g индекс J₂ уже рассчитывался по формуле: J₂(j,a ,b ,d ,g ) = J₂(j,a ,b ,d ,g –1)+1 , то в этом случае второй индекс будет определяться выражением: J₂(j,a ,b ,d ,g ) = J₂(j,a ,b ,d –1,g )+1, если d ¹ b и g ¹ 1 и при этом для данного g индекс J₂ еще не рассчитывался по формуле: J₂(j,a ,b ,d ,g ) = J₂(j,a ,b ,d ,g –1)+1, и выполняется условие, которое заключается для b –d ³ 2 в том, что ни при каких f, изменяющихся в пределах от b до d +2 не может быть J₂(j,a ,b ,f,g –1) – J₁(j,a ,b ,f,g –1) > 1, а для b –d =1, наоборот, должно быть J₂(j,a ,b ,f,g –1) – J₁(j,a ,b ,f,g –1) > 1 при f=b , то в этих случаях второй индекс будет определяться выражением: J₂(j,a ,b ,d ,g ) = J₂(j,a ,b ,d ,g –1)+1 ,
в остальных случаях: J₂(j,a ,b ,d ,g ) = J₂(j,a ,b ,d ,g –1) .

Формула (2.20) показывает, что фактический сигнал управления в некоторой ситуации зависит от всех предшествующих ситуаций, в которых происходила корректировка весовых коэффициентов: как от возбуждений рецепторов в этих ситуациях, так и от заданных для них выходных сигналов.
Соответственно, значения весовых коэффициентов при последовательном обучении на j-м шаге обучения (в j-й ситуации) можно определить по формуле:

где Г(a ,b ) = 1 при a = b и при a =1,
Г(a ,b ) = a при b = 1 и при a – b = 1 , и
Г(a ,b ) = Г(a –1, b –1) + Г(a –1, b ) , при a – b > 1 ,
индексы J₁ и J₂ определяются аналогично тому, как это делается в формуле (2.20), а индекс J₃ равен значению индекса J₂ при d = b .

В процессе обучения и работы обучаемой системы управления могут возникать ситуации, соответствующие признаки которых отличаются друг от друга в одно и то же число раз (для двух образов: b_i2 = k · b_i1). Это возможно, например, при изменении уровня освещенности обозреваемой сцены. Такие ситуации являются подобными, а величина k – отношение подобия этих ситуаций. Обучение формированию сигналов управления исполнительным двигателем, не отвечающих условию: E₂ = k · E₁, для таких ситуаций невозможно. Для преодоления этого ограничения в изображения этих ситуаций можно искусственно ввести дополнительный масштабирующий признак некоторой постоянной величины, например на дополнительный рецептор подавать постоянный сигнал для всех ситуаций.
Степень совпадения двух ситуаций S определяется выражением 2.12. Для подобных ситуаций S = 1. Оптимальный масштабирующий признак должен быть таким, чтобы значение степени совпадения для данных двух ситуаций стало минимальным. При использовании масштабирования степень совпадения двух ситуаций будет иметь вид

Из выражений (2.21) и (2.22) следует, что минимальная степень совпадения двух подобных ситуаций, достигаемая масштабированием, определяется только отношением подобия k и связана с ним зависимостью

S_min = 4 k / (1 + k)² .___________________(2.23)

B₁: ___ 2 __ 8 __ 1 __ 5 __ 4 __ 7 __ 3 _ 11 __ 9 __ 6 ;
B₂: ___ 6 _ 24 __ 3 _. 15 _ 12 _ 21 __ 9 _ 33 _. 27 _ 18 .

Здесь число признаков: m = 10 , отношение подобия: k = 3 , степень совпадения ситуаций: S = 1 . Оптимальный масштабирующий признак, определенный по формуле (2.22), будет иметь значение b_m+1= 34,899857. Степень совпадения для масштабированных ситуаций

B₁^*: ___ 2 __ 8 __ 1 __ 5 __ 4 __ 7 __ 3 _ 11 __ 9 __ 6 _ 34,899857;
B₂^*: ___ 6 _ 24 __ 3 _. 15 _ 12 _. 21 __ 9 _ 33 _ 27 _ 18 _ 34,899857,

в соответствии с формулами (2.21) и (2.23), имеет значение S_M = 0,75 .

где n – число совпадающих признаков двоичных ситуаций, k₁ – число единичных признаков первой ситуации.
Для рассматриваемых ситуаций B₁ и B₂ с соответствующими выходными сигналами E₁ = 1 и E₂ = 2 оптимальный масштабирующий признак, определенный по формуле (2.25), будет иметь значение: b_m+1 = 20,149442.
На рис.2.2 показана зависимость степени отличия D рассматриваемых ситуаций и числа циклов обучения t от величины масштабирующего признака b_m+1 при заданной точности выходных сигналов d _E = ± 0,1.

1 – график зависимости t = f(b_m+1) для ситуаций с признаками B₁ и B₂ при E₁ = 1 , E₂ = 2;
2 – график зависимости t = f(b_m+1) для ситуаций с признаками B₁ и B₂ при E₁ = 2 , E₂ = 1
Рис.2.2. Зависимость продолжительности обучения от значения
масштабирующего признака для подобных образов

Важным фактором, влияющим на продолжительность обучения обучаемой системы, является заданная точность формирования выходных сигналов в ситуациях обучаемой выборки.

Методика исследования. Исследование проводилось с использованием математической модели процесса обучения. Обучение проводилось для наборов из пяти образов с числом признаков: m = 10. В качестве значений признаков брались случайные целые числа в пределах от 0 до 9. Значения выходных сигналов принимались равными порядковому номеру образа в наборе: для первого образа E₁ = 1, для второго E₂ = 2 и т.д. Вначале допустимое отклонение выходных сигналов задавалось в пределах d _E = ± 0,01. Затем допустимое отклонение расширялось до d _E = ± 0,5 с дискретой, равной 0,01. Для каждого значения d _E определялось число шагов обучения, необходимое для получения выходных сигналов с заданной точностью и характеризующее продолжительность обучения.

Полученные результаты. Зависимость продолжительности обучения от заданной точности рассмотрим на примере обучения для семи наборов образов:

1) ___5___0___3___5___8___0___3___8___6___3________E₁ = 1;
_____6___8___3___6___8___1___3___6___1___4________E₂ = 2;
_____6___9___1___6___9___1___4___7___9___4________E₃ = 3;
_____7___9___2___4___0___2___5___7___0___5________E₄ = 4;
_____7___0___2___5___8___3___5___8___0___3________E₅ = 5;

2) ___9___4___6___9___1___4___9___2___4___7________E₁ = 1;
_____2___2___7___9___2___4___7___2___5___7________E₂ = 2;
_____0___2___5___0___2___5___8___0___5___8________E₃ = 3;
_____0___3___5___8___3___6___8___1___3___8________E₄ = 4;
_____1___3___6___9___1___6___9___1___4___6________E₅ = 5;

3) ___8___9___4___6___9___1___4___6___2___4________E₁ = 1;
_____0___9___2___7___9___2___5___7___2___5________E₂ = 2;
_____7___0___2___5___0___3___5___8___0___5________E₃ = 3;
_____8___0___3___6___8___3___6___8___1___3________E₄ = 4;
_____8___1___4___6___9___1___6___9___1___4________E₅ = 5;

4) ___0___3___6___1___3___6___8___1___3___9________E₁ = 1;
_____4___4___6___9___4___6___9___1___4___7________E₂ = 2;
_____2___4___7___9___8___7___9___2___5___7________E₃ = 3;
_____0___5___7___0___2___5___0___3___5___8________E₄ = 4;
_____0___3___8___0___3___6___8___3___6___8________E₅ = 5;

5) ___3___6___8___1___3___9___1___4___6___9________E₁ = 1;
_____5___6___9___1___4___7___2___4___7___9________E₂ = 2;
_____2___4___0___2___5___7___0___5___7___0________E₃ = 3;
_____2___5___0___3___5___8___0___3___8___1________E₄ = 4;
_____3___6___8___3___6___8___1___3___6___1________E₅ = 5;

6) ___2___7___0___3___5___8___0___5___8___0________E₁ = 1;
_____6___5___1___3___6___8___1___3___8___1________E₂ = 2;
_____4___6___9___4___6___5___1___4___6___2________E₃ = 3;
_____4___7___9___2___7___9___2___4___7___0________E₄ = 4;
_____5___7___0___2___5___0___3___5___8___0________E₅ = 5;

7)_ __9___1___4___6___9___2___7___9___2___4________E₁ = 1;
_____0___2___5___7___0___2___7___0___2___5________E₂ = 2;
_____7___0___5___8___0___3___5___0___3___6________E₃ = 3;
_____8___1___3___8___1___3___6___8___4___6________E₄ = 4;
_____9___1___4___6___1___4___6___9___2___7________E₅ = 5.

В результате исследований получены значения чисел шагов обучения, необходимых для достижения заданной точности, определяемой значениями допусков на выходные сигналы d _E. Эти значения представлены на рис.2.3:

Рис.2.3. Зависимость числа шагов обучения N_ш от заданных значений допусков d _E

При использовании логарифмической шкалы для заданных значений допусков d _E график примет следующий вид:

Рис.2.4. Зависимость числа шагов обучения N_ш от заданных значений допусков d _E ,
представленных логарифмической шкалой

Выводы. Полученные результаты согласуются с формулами (2.15) и (2.16) и подтверждают вывод о том, что число шагов обучения, необходимых для достижения требуемой точности, определяется по логарифмическому закону [62]:

N_ш = K₁ – K₂ · lg d _E ,

где K₁ и K₂ – постоянные для каждой конкретной обучаемой выборки, определяемые образами выборки и заданными выходными сигналами для них.
Как заданная точность влияет на продолжительность обучения, видно из графиков на рис.2.3 и рис.2.4: чем выше требуемая точность, тем дольше обучение. Из этого следует вывод о том, что не следует предъявлять повышенные требования к точности обучаемых систем там, где в этом нет особой необходимости.

Методика исследования. Влияние отличительности и заданной точности выходных сигналов на продолжительность обучения рассмотрим на примере обучения для двух бинарных образов с числом признаков m = 10. Все признаки одного из образов примем равными единице. Значения признаков другого образа будем изменять следующим образом: вначале только один из признаков зададим равным единице, остальные – равными нулю, затем добавим еще один единичный признак и так далее до девяти единичных признаков второго образа. Число n нулевых признаков второго образа, отнесенное к общему числу признаков m, определяет степень отличия двух данных образов. Для одного из образов выходной сигнал задавался равным единице (E₁ = 1), для другого – двум (E₂=2), затем требуемые сигналы менялись (E₁=2, E₂=1). При обучении использовалось три варианта порядка предъявления образов: 1 – обучение начиналось с образа, содержащего нулевые признаки и с заданным сигналом, равным единице; 2 – обучение начиналось с образа со всеми единичными признаками и с заданным сигналом, равным единице; 3 – обучение начиналось с образа со всеми единичными признаками и с заданным сигналом, равным двум (рис.2.5, рис.2.6).

Рис.2.5. Зависимость числа шагов обучения N_ш для двух образов от степени
их совпадения S=1–n/m с заданной точностью обучения d _E = ± 0,1 ед.;

Рис.2.6. Зависимость числа шагов обучения N_ш для двух образов от степени
их совпадения S=1–n/m с заданной точностью обучения d _E = ± 0,01 ед.;

Полученные результаты. В общем случае, чем больше отличительность образов обучаемой выборки, тем быстрее заканчивается обучение до заданной точности, однако определенное соотношение выходных сигналов и отличительности ситуаций приводит к более быстрому обучению, что видно на графиках (рис.2.5, рис.2.6) в точках, после которых дальнейшее увеличение отличительности приводит к некоторому увеличению продолжительности обучения.
Для двух образов с произвольными значениями признаков зависимость числа шагов обучения от степени совпадения образов показана на графике, представленном на рис.2.7. Число признаков m было принято равным 10. Значения выходных сигналов E равнялись 3 и 5 с точностью d _E = ± 0,01. В качестве значений признаков брались случайные целые числа в пределах от 0 до 9. Рассматривались два порядка предъявления образов: 1 – когда первым предъявлялся образ с выходным сигналом равным 3; 2 – когда первым предъявлялся образ с выходным сигналом равным 5.

Рис.2.7. Зависимость числа шагов обучения N_ш для двух образов от степени их совпадения S

Более четко прослеживается зависимость числа циклов обучения N_ц от степени совпадения образов (рис.2.8).

Рис.2.8. Зависимость числа циклов обучения N_ц для двух образов от степени их совпадения S

Из графиков видно, что для образов с S = 0 (полное отличие образов) обучение заканчивается за один цикл. То же самое происходит и для образов, степень совпадения которых S=E₂/E₁, в нашем случае при S = 0,6 , причем первый образ не должен содержать нулевые признаки, которые во втором образе имеют ненулевое значение. При S, стремящейся к 1, число циклов обучения резко возрастает, а при S = 1 обучение становится невозможным кроме как для образов, отношение подобия которых отвечает условию: E₂ = k ·E₁ (см. п.2.2.3).

Выводы. Система очувствления обучаемой системы управления должна строиться таким образом, чтобы воспринимать как можно больше отличительных признаков в ситуациях, которые возникают при решении требуемой задачи, чтобы степень совпадения образов обучаемой выборки была минимальной, что значительно ускоряет обучение системы.
Пользуясь описанной выше методикой, совместную зависимость продолжительности обучения от степени совпадения двух образов и заданной точности можно представить в виде пространственного графика (рис.2.9):

Рис.2.9. Пространственный график зависимости числа шагов обучения N_ш для двух образов
от степени их совпадения S и заданной точности обучения d _E

Анализ влияния порядка предъявления ситуаций на продолжительность обучения будем проводить с помощью вычислительной модели обучаемой системы управления. В качестве примера рассмотрим два варианта обучения для пяти ситуаций с десятью числовыми признаками (таблица 1).

Допуск на значения сигналов управления: d _E = ± 0,1 .

Порядок предъявления ситуаций – циклический. Число шагов обучения, необходимых для достижения заданной точности: 225. Значения полученных в результате обучения весовых коэффициентов признаков:

___ ___0,277424; __–0,398268; ___0,391117; ___0,294749; ___0,171608;
___ ___0,102080; ___0,475452; __–0,008366; ___0,034453; ___0,045794.

______E_f1=0,943592; ___E_f2=1,931619; ___E_f3=3,079798; ___E_f4=3,940933; ___E_f5=5,000000.

Рис.2.10. Обучение при циклическом предъявлении ситуаций

При этом варианте после каждого шага обучения определяются значения абсолютных ошибок для сигналов управления во всех ситуациях, и на следующем шаге предъявляют ситуацию, в которой ошибка сигнала управления была самой большой. Обучение до заданной точности закончилось за 153 шага. Значения весовых коэффициентов признаков, полученных в результате обучения:

______–0,269060; __–0,387141; ___0,392780; ___0,289534; ___0,166311;
______–0,105657; ___0,475572; __–0,007025; ___0,034779; ___0,039230.

______E_f1=1,079238; ___E_f2=1,963388; ___E_f3= 3,098165; ___E_f4=3,936747; ___E_f5=5,000000.

Рис.2.11. Обучение с выбором на каждом шаге обучения ситуации с максимальной ошибкой выходного сигнала

Уменьшение числа шагов обучения при втором варианте обучения носит устойчивый характер, т.е. имеет место при любых образах и заданных выходных сигналах.
Для данного примера число шагов, необходимых для достижения заданной точности при обучении по второму варианту, почти в полтора раза меньше, чем по первому варианту. Значения весовых коэффициентов признаков для двух вариантов близки и при уменьшении допуска на сигналы управления будут еще больше сближаться.
Из приведенных графиков видно, как изменяются значения фактических сигналов управления по шагам обучения: на начальном этапе формируются сигналы управления, которые не соответствуют заданным значениям, затем значения сигналов приближаются к некоторой средней величине, и далее – расходятся, стремясь к заданным величинам до тех пор, пока не войдут в пределы допусков на сигналы управления.
Рассмотренные варианты отражают реальные процессы обучения объектов, оснащенных обучаемыми системами управления. Так, при обучении робота обучатель может, используя метод “вождения за руку”, многократно циклически повторять движения робота в режиме обучения, добиваясь того, что робот будет двигаться с заданной точностью, необходимой для выполнения поставленной задачи. Таким образом реализуется первый вариант обучения. Того же результата обучатель может добиться, если по ходу движений робота будет подавать сигналы коррекции лишь в тех ситуациях, в которых сигналы управления исполнительными двигателями имеют наибольшие отклонения от требуемых значений, т.е. реализовывать второй вариант обучения, который позволяет значительно сократить его продолжительность.
Алгоритм обучения, оптимизированный с точки зрения порядка предъявления образов ситуаций, представлен на рис.2.12:

Рис.2.12. Оптимизированный алгоритм расчета весовых коэффициентов

Признаковое представление информации позволяет использовать дробление выходного сигнала датчика с широким диапазоном измерения параметра, охватывающего весь диапазон его изменения, на узкие интервалы изменения параметра и установление для каждого интервала своего весового коэффициента, что соответствует кусочно-линейной аппроксимации зависимости сигнала управления исполнительным двигателем от значений входных параметров. Дробление информации может быть различным: простым, когда диапазон измерения разбивается на равные интервалы; разрядным, когда диапазон измерения разбивается на разряды: единицы, десятки, сотни и т.д.; переменным, когда диапазон измерения разбивается более часто в рабочем интервале изменения параметра и менее часто в нерабочих интервалах; другие виды дробления.
Рассмотрим влияние дробления информации на скорость обучения системы управления. Допустим, сигнал управления отдельным исполнительным двигателем в j-й ситуации связан с тремя параметрами нелинейной зависимостью:

В качестве системы очувствления использованы три датчика с широким диапазоном измерения. При этом, сигнал управления будет связан с показаниями датчиков b зависимостью:

Процесс обучения заключается в циклическом переборе ситуаций обучаемой выборки и определении коэффициентов c_i на каждом шаге обучения по алгоритму (2.5).

1) b₁₁ = 3 ; _ b₂₁ = 2 ; _ b₃₁ = 1 ; __ сигнал управления E₁ = 8 ;
2) b₁₂ = 3 ; _ b₂₂ = 3 ; _ b₃₂ = 2 ; __ сигнал управления E₂ = 20 ;
3) b₁₃ = 2 ; _ b₂₃ = 4 ; _ b₃₃ = 3 ; __ сигнал управления E₃ = 45 .

Обучение считается законченным, если фактическое значение сигнала управления не выходит за пределы допустимого: E_j + d _E (принимаем d _E = 0,1). Для определения степени адаптивности использованы контрольные ситуации:

4) b₁₄ = 1 ; _ b₂₄ = 3 ; _ b₃₄ = 3 ; __ сигнал управления E₄= 37 ;
5) b₁₅ = 2 ; _ b₂₅ = 4 ; _ b₃₅ = 1 ; __ сигнал управления E₅ = 19 .

Число циклов обучения без использования дробления параметров составило: t = 7817. Получены следующие значения весовых коэффициентов: c₁ = –12,856242; c₂ = 34,468731; c₃ = –22,368735, которые обеспечивают следующие фактические значения сигналов управления в контрольных ситуациях: E_f4 = 1,075011; E_f5 = –15,881226.

Этот вариант дробления параметров заключается в следующем: диапазон изменения параметра разбивается на интервалы, соответствующие единице измерения параметра. Если значение параметра перекрывает данный интервал или входит в него, то значение признака, соответствующего этому интервалу, принимаем равным единице, в противном случае значение признака равно нулю.

Ситуации обучаемой выборки (верхний индекс в скобках – номер дробимого параметра, первый нижний индекс – номер полученного в результате дробления обезличенного признака, второй нижний индекс – номер ситуации):
1) b_1,1⁽¹⁾=1; _b_2,1⁽¹⁾=1; _b_3,1⁽¹⁾=1; _b_4,1⁽²⁾=1; _b_5,1⁽²⁾=1; _b_6,1⁽²⁾=0; _b_7,1⁽²⁾=0; _b_8,1⁽³⁾=1; _b_9,1⁽³⁾=0; _b_10,1⁽³⁾=0; __сигнал управления E₁ = 8;
2) b_1,2⁽¹⁾=1; _b_2,2⁽¹⁾=1; _b_3,2⁽¹⁾=1; _b_4,2⁽²⁾=1; _b_5,2⁽²⁾=1; _b_6,2⁽²⁾=1; _b_7,2⁽²⁾=0; _b_8,2⁽³⁾=1; _b_9,2⁽³⁾=1; _b_10,2⁽³⁾=0; __сигнал управления E₂ = 20;
3) b_1,3⁽¹⁾=1; _b_2,3⁽¹⁾=1; _b_3,3⁽¹⁾=0; _b_4,3⁽²⁾=1; _b_5,3⁽²⁾=1; _b_6,3⁽²⁾=1; _b_7,3⁽²⁾=1; _b_8,3⁽³⁾=1; _b_9,3⁽³⁾=1; _b_10,3⁽³⁾=1; __сигнал управления E₃ = 45.

Контрольные ситуации:
4) b_1,4⁽¹⁾=1; _b_2,4⁽¹⁾=0; _b_3,4⁽¹⁾=0; _b_4,4⁽²⁾=1; _b_5,4⁽²⁾=1; _b_6,4⁽²⁾=1; _b_7,4⁽²⁾=0; _b_8,4⁽³⁾=1; _b_9,4⁽³⁾=1; _b_10,4⁽³⁾=1; __сигнал управления E₄ = 32,892045;
5) b_1,5⁽¹⁾=1; _b_2,5⁽¹⁾=1; _b_3,5⁽¹⁾=0; _b_4,5⁽²⁾=1; _b_5,5⁽²⁾=1; _b_6,5⁽²⁾=1; _b_7,5⁽²⁾=1; _b_8,5⁽³⁾=1; _b_9,5⁽³⁾=0; _b_10,5⁽³⁾=0; __сигнал управления E₅ = 29,729593.

Число циклов обучения: t=26. Весовые коэффициенты признаков:
c₁ = 2,880595; ___ c₂ = 2,880595; ___ c₃ = –6,402976; ___ c₄ = 2,880595; ___ c₅ = 2,880595; ___ c₆ = 6,043047; ___ c₇ = 9,283571; ___ c₈ = 2,880595; ___ c₉ = 6,043047; ___ c₁₀ = 9,283571.

Фактические значения сигналов управления в контрольных ситуациях:
E_f4 = 32,892045, ошибка D E_f4 = 4,107955; ___E_f5 = 29,729593, ошибка D E_f5 = 10,729593.

Для этого варианта дробления, как и для первого диапазон изменения параметра разбивается на интервалы, соответствующие единице изменения параметра. Если значение параметра входит в интервал, то значение признака, соответствующего этому интервалу принимаем равным единице, в противном случае значение признака равно нулю.

Ситуации обучаемой выборки для этого варианта дробления примут вид:
1) b_1,1⁽¹⁾=0; _b_2,1⁽¹⁾=0; _b_3,1⁽¹⁾=1; _b_4,1⁽²⁾=0; _b_5,1⁽²⁾=1; _b_6,1⁽²⁾=0; _b_7,1⁽²⁾=0; _b_8,1⁽³⁾=1; _b_9,1⁽³⁾=0; _b_10,1⁽³⁾=0; __сигнал управления E₁ = 8;
2) b_1,2⁽¹⁾=0; _b_2,2⁽¹⁾=0; _b_3,2⁽¹⁾=1; _b_4,2⁽²⁾=0; _b_5,2⁽²⁾=0; _b_6,2⁽²⁾=1; _b_7,2⁽²⁾=0; _b_8,2⁽³⁾=0; _b_9,2⁽³⁾=1; _b_10,2⁽³⁾=0; __сигнал управления E₂ = 20;
3) b_1,3⁽¹⁾=0; _b_2,3⁽¹⁾=1; _b_3,3⁽¹⁾=0; _b_4,3⁽²⁾=0; _b_5,3⁽²⁾=0; _b_6,3⁽²⁾=0; _b_7,3⁽²⁾=1; _b_8,3⁽³⁾=0; _b_9,3⁽³⁾=0; _b_10,3⁽³⁾=1; __сигнал управления E₃ = 45.

Контрольные ситуации:
4) b_1,4⁽¹⁾=1; _b_2,4⁽¹⁾=0; _b_3,4⁽¹⁾=0; _b_4,4⁽²⁾=0; _b_5,4⁽²⁾=0; _b_6,4⁽²⁾=1; _b_7,4⁽²⁾=0; _b_8,4⁽³⁾=0; _b_9,4⁽³⁾=0; _b_10,4⁽³⁾=1; __сигнал управления E₄ = 37;
5) b_1,5⁽¹⁾=0; _b_2,5⁽¹⁾=1; _b_3,5⁽¹⁾=0; _b_4,5⁽²⁾=0; _b_5,5⁽²⁾=0; _b_6,5⁽²⁾=0; _b_7,5⁽²⁾=1; _b_8,5⁽³⁾=1; _b_9,5⁽³⁾=0; _b_10,5⁽³⁾=0; __сигнал управления E₅ = 19.

Число циклов обучения: t = 3. Весовые коэффициенты признаков:
c₁ = 0,000000; ___ c₂ =15,000000; ___ c₃ = 7,017833; ___ c₄ = 0,000000; ___ c₅ = 0,526749; ___ c₆ = 6,491084; ___ c₇ =15,000000; ___ c₈ = 0,526749; ___ c₉ = 6,491084; ___ c₁₀ =15,000000.

Фактические значения сигналов управления в контрольных ситуациях:
E_f4 = 21,491084, ошибка D E_f4 = 15,508916; ___E_f5 = 30,526749, ошибка D E_f5 = 11,526749.

Рис.2.13. Обучаемая система управления с реализацией дробления входных сигналов
1 – входы, 2 – диоды, 3 – плюс-резисторы, 4 – минус-резисторы, 5 – сумматоры-вычитатели,
6 – выход, 7 – преобразующее устройство, 8 – РАУ (разрядно-аналоговое устройство), 9 – входы РАУ.

Выводы. Из рассмотренного примера видно, что дробление информации позволяет использовать линейную модель для определения сигнала управления отдельным исполнительным двигателем объекта управления, сократить продолжительность обучения, увеличить точность сигналов управления, повысить адаптивность системы управления.
Следует отметить, что при дроблении параметров интервалы дробления могут дублироваться, перекрывать частично или полностью интервалы других признаков. В этом смысле дробление параметров в обучаемых системах управления перекликается с методами нечеткой логики. В отличие от традиционной формальной логики, оперирующей физическими параметрами, точными и четкими понятиями типа истина и ложь, да и нет, ноль и единица, нечеткая логика имеет дело со значениями, лежащими в некотором (непрерывном или дискретном) диапазоне. Функция принадлежности элементов к заданному множеству также представляет собой не жесткий порог "принадлежит – не принадлежит", а плавную сигмоиду, проходящую все значения от нуля до единицы [53]. Разница лишь в том, что в обучаемых системах управления принадлежность признака некоторому интервалу носит не вероятностный характер, а вполне конкретна.