3. Неестественная логика в основаниях математики

Настораживает еще одно обстоятельство, которое имеет непосредственное отношение к основным проблемам современной логики. В рассуждениях тех, кого можно отнести к законодателям или последователям формального языка математической логики, нередко обнаруживается своеобразная “слепота” по отношению к элементарным логическим ошибкам. На эту слепоту в основополагающих работах Г. Кантора, Д. Гильберта, Б. Рассела, Дж. Пеано и др. еще в начале нашего столетия обратил внимание один из великих математиков Анри Пуанкаре [2]. Эта проблема не потеряла своего значения и в наше время — А.А. Зенкин в ряде недавних публикаций [7,8] обосновал несостоятельность некоторых методов доказательств, используемых при выводе основополагающих теорем Канторовой теории множеств. Заметим, что некоторые из этих методов (в частности, диагональный метод Кантора) часто используются в современных исследованиях по формальной логике.

С бесконечностью связана одна распространенная в современных теориях логического вывода тенденция, которая при внимательном рассмотрении оказывается непреодолимым препятствием для прикладной сути логики. Формальная логика оперирует сугубо дискретными сущностями (словами, символами, обозначениями объектов и операций, значками и т.д.). Ясно, что множество всех этих возможных объектов необозримо, но даже если предположить, что человечество просуществует еще (дай Бог!) миллиарды лет, то все равно множество этих объектов будет конечным множеством и вряд ли когда-нибудь приблизится к количеству элементарных частиц во Вселенной, которое по современным физическим представлениям характеризуется хотя и чрезмерно большим, но все же конечным числом. В то же время подавляющая часть современных работ по основаниям математической логики начинается с того, что в них постулируется “счетность” алфавита, что означает, что число “термов” и “атомов” может быть конечным или счетным бесконечным множеством. Если удерживаться в рамках “конечности” алфавита, то ничего абсурдного в этом нет, но дело в том, что за данным “постулатом” о счетности алфавита, скрывается, то, что некоторые открытые Кантором свойства бесконечных множеств, несовместимые со свойствами конечных множеств, переносятся на свойства многих систем логического вывода. Вполне естественно возникает вопрос: “Может ли человек, способный охватить в своем сознании лишь конечное множество слов и обозначений, воспользоваться “достижениями” такой “продвинутой” логики?”

Во многих современных работах по логике и математике, в которых заметно влияние программы Гильберта, не находят объяснения многие явно нелепые с точки зрения естественной логики утверждения. Соотношение между “элементом” и “множеством” является простейшим примером такого рода. Во многих работах этого направления утверждается, что некоторое множество (назовем его A) может быть элементом другого множества (назовем его B). Например, в широко известном руководстве по математической логике [9] мы встретим такую фразу: “Множества сами могут быть элементами множеств, так, например, множества всех множеств целых чисел имеет своими элементами множества”. Заметим, что это утверждение не просто оговорка. Оно содержится в качестве “скрытой” аксиомы в формальной теории множеств, которую многие специалисты считают основанием современной математики, а также в формальной системе, которую построил математик Гедель при доказательстве своей знаменитой теоремы о неполноте формальных систем [10].

Эта теорема относится к довольно узкому классу формальных систем (в их число входит формальная теория множеств и формальная арифметика Пеано), логическая структура которых явно не соответствуют логической структуре естественных рассуждений и обоснований. Однако уже более полувека она является предметом бурного обсуждения среди логиков и философов в контексте общей теории познания. При таком широком обобщении этой теоремы получается, что принципиально непознаваемыми являются многие элементарные понятия. Но при более трезвом подходе оказывается, что теорема Геделя показала лишь несостоятельность программы формального обоснования математики, предложенной Д. Гильбертом и подхваченной многими математиками, логиками и философами. Более широкий методологический аспект теоремы Геделя вряд ли можно считать приемлемым до тех пор, пока не получен ответ на следующий вопрос: является ли программа обоснования математики, предложенная Гильбертом, единственно возможной?

Чтобы понять двусмысленность утверждения “множество A есть элемент множества B”, достаточно задать простой вопрос: “Из каких элементов в этом случае сформировано множество B?”. С точки зрения естественной логики возможны лишь два исключающих друг друга варианта объяснения.

Объяснение первое. Элементами множества B являются имена некоторых множеств и, в частности, имя или обозначение множества A. Например, множество всех четных чисел содержится как элемент в множестве всех имен (или обозначений) множеств, выделенных по каким-либо признакам из множества всех целых чисел. Можно привести более понятный пример: множество всех жирафов содержится как элемент в множестве всех известных видов животных. В более широком контексте множество B можно также сформировать из концептуальных определений множеств или ссылок на множества.

Объяснение второе. Элементами множества B являются элементы некоторых других множеств и, в частности, все элементы множества A. Например, каждое четное число есть элемент множества всех целых чисел или каждый жираф есть элемент множества всех животных.

Но тогда получается, что в обоих случаях выражение “множество A является элементом множества B” не имеет смысла. В первом случае оказывается, что элементом множества B является не само по себе множество A, а его имя (или обозначение, или ссылка на него). В этом случае неявно устанавливается отношение эквивалентности между множеством и его обозначением, что неприемлемо ни с точки зрения обычного здравого смысла, ни с точки зрения несовместимой с чрезмерным формализмом математической интуиции. Во втором случае оказывается, что множество A включено в множество B, т.е. является его подмножеством, но не элементом. Здесь тоже явная подмена понятий, поскольку отношение включения множеств и отношение принадлежности (быть элементом множества) в математике имеют принципиально различный смысл. Знаменитый парадокс Рассела, подорвавший доверие логиков к понятию “множество”, основан на этой нелепости – в основе парадокса лежит двусмысленная предпосылка о том, что множество может быть элементом другого множества.

В свое время (1925 г.) один из пионеров компьютерной революции Дж. фон Нейман предложил различать два типа объектов: “множества” и “классы”. В его логической системе классы отличаются от множеств тем, что не могут быть элементами других классов [11, стр. 46]. Однако в своей системе он уделил основное внимание “множествам”, для которых такое явно двусмысленное соотношение считается допустимым [12].

Возможен еще один вариант объяснения. Пусть множество A задано простым перечислением его элементов, например, A = {a, b}. Множество B в свою очередь задано перечислением некоторых множеств, например, B = {{a, b}, {a, c}}. В данном случае кажется очевидным, что элементом B является не имя множества A, а само множество A. Но даже в этом случае элементы множества A не являются элементами множества B, и множество A здесь рассматривается как неразделимая совокупность, которая вполне может быть заменена его именем. Но если бы мы считали элементами B все элементы содержащихся в нем множеств, то в этом случае множество B было бы равно множеству {a, b, c}, и множество A в этом случае было бы не элементом B, а его подмножеством. Таким образом, получается, что этот вариант объяснения в зависимости от нашего выбора, сводится к ранее перечисленным вариантам. А если никакого варианта выбора не предложено, то получается элементарная двусмысленность, которая часто приводит к “необъяснимым” парадоксам.

Можно было бы не уделять особого внимания этим терминологическим нюансам, если бы не одно обстоятельство. Оказывается, что многие парадоксы и несообразности современной логики и дискретной математики являются прямым следствием или подражанием этой двусмысленности. Например, в современных математических рассуждениях часто используется понятие “самоприменимость”, которое лежит в основе парадокса Рассела. В формулировке этого парадокса под самоприменимостью подразумевается существование множеств, которые являются элементами самих себя. Такое утверждение сразу же приводит к парадоксу. Если мы рассмотрим множество всех “несамоприменимых” множеств, то окажется, что оно является одновременно “самоприменимым” и “несамоприменимым”. От противоречия легко избавиться, если отказаться от утверждения, что множество (но не его имя, обозначение или определение) может быть элементом какого-то множества. И в соответствии с этим выражение “множество есть элемент множества” рассматривать как неудачную метафору для одного (и только одного!) из сформулированных выше вариантов объяснения.

n! = 1Ч 2Ч ... Ч (n-2)Ч (n-1)Ч n

можно определить как рекурсивную функцию F с помощью двух равенств:

F(1) = 1; F(n+1) = (n+1)F(n).

Такое определение не совсем привычно для человека, несведущего в математике, но является вполне корректным и во многих случаях даже полезным не только для теории, но и для практики. Необычность его заключается в том, что одна и та же функция F здесь используется в левой и в правой части второго равенства. Но “самоприменимость” здесь можно рассматривать как метафору, поскольку в разных частях равенства эта функция используется с разными значениями аргумента. К тому же в записи рекурсивной функции равенство (=) означает не отношение, а известную программистам операцию присваивания. Примером такого “равенства” является кажущаяся абсурдной запись “X=X+1”, которая означает, что значение X в результате операции присваивания увеличивается на единицу.

К сожалению, такая терминологическая чехарда в современных теоретических рассуждениях по основаниям математики и математической логики встречается весьма часто. Еще в начале нашего века А. Пуанкаре отметил, что в чрезмерной формализации математики, которой увлеклись многие приверженцы научной школы Д. Гильберта, часто содержатся “скрытые” определения и двусмысленности [2]. Тогда они лишь намечались и можно только восхищаться прозорливости Пуанкаре. Но сейчас они проявились в полной мере, и свидетельствуют о “скрытой диверсии” в логике и в основаниях математики. Вместе с тем, если такая “диверсия” допускается для основополагающих понятий математики, то она оказывается объектом для подражания применительно ко многим частным логическим и математическим понятиям. И подобные “диверсии” (или мемы) размножаются в разных областях знаний, если не в геометрической, то, по крайней мере, в арифметической прогрессии.

В начало статьи