 |
||
|
||
5. Возможные решения некоторых проблем
А можно ли предложить систему математического моделирования естественных рассуждений, в которой учитывались бы многие их специфические особенности, но при этом не требовалось бы в корне изменять законы булевой алгебры? Решением этой проблемы я занимался несколько лет. Результаты этих поисков опубликованы в различных изданиях и докладывались на международных и общероссийских конференциях по искусственному интеллекту и логике [
13-21]. Но наиболее интересным результатом мне кажется то, что предложенный подход при определенной методической переработке оказывается вполне доступным для восприятия и понимания даже тем, кто в силу ряда обстоятельств недостаточно знаком с основными понятиями и идеями логики и математики. Опыт моего общения со студентами Санкт-Петербургского Государственного Университета Культуры и Искусств и школьниками показал, что они в течение нескольких аудиторных занятий вполне овладевают методами грамотного анализа таких рассуждений, которые трудны даже для специалистов. В одной из школ Санкт-Петербурга по этой методике начались занятия по логике среди учеников 7-го и 8-го классов. Преподавательница информатики Р.Ю. Дамм адаптировала ее к школьному курсу образования. В результате школьники через несколько уроков успешно справляются с многими сложными задачами анализа естественных рассуждений.В чем же основные отличия данного подхода? Выделим два основных.
Отличие первое. В качестве структурной единицы формального рассуждения было выбрано суждение, т.е. в общем случае утверждение, в котором некоторому объекту или классу объектов (субъекту) присваивается некоторый набор признаков (предикатов) или их отрицаний. Термин “суждение” и сопутствующие термины “субъект” и “предикат” взяты из классической силлогистики, но в данном подходе смысл термина “суждение” более широкий. В Аристотелевской силлогистике субъекту суждения соответствует один и только один предикат или его отрицание, в то время
как в предлагаемом подходе в одном суждении субъекту может быть присвоено произвольное число предикатов или их отрицаний. Например, утверждение “Все тигры млекопитающие” может быть представлено как суждение Аристотелевского типа. Но в то же время суждение “Все тигры хищные млекопитающие, не живущие в воде и не приспособленные к жизни в условиях Крайнего Севера” уже не является Аристотелевским, но вполне соответствует определению суждения в новом подходе.В форме суждения можно выразить не только многие “нормальные” предложения естественного языка, но и такие логические конструкции, как определения или толкования терминов; факты реальной жизни, выраженные с помощью языка (“Земля вращается вокруг своей оси”); многие математические теоремы; законы природы и т.
д.Суждение – это результат каких-то знаний о системе. Эти знания могут быть ошибочными или вообще не имеющими никакого отношения к реальности, но основная задача логического анализа рассуждений заключается не в выяснении безусловной истинности отдельных суждений, а в проверке их совместимости. В начальной стадии логического анализа рассуждений предполагается, что все суждения истинные. Но если наш анализ показывает, что рассуждение в целом логически несовместимо (некорректно), то в этом случае у нас имеются основания предположить, что хотя бы некоторые из суждений данного рассуждения не являются истинными. При этом следует учесть, что сопоставление умозрительных суждений с реальными фактами, выраженными в форме суждений, также является рассуждением
.Отличие второе. Связь между субъектом и предикатами или их отрицаниями в суждении соотносится с отношением включения множеств. Обычно такая связь при переводе предложений естественного языка в классическое суждение осуществляется с помощью глагола-связки “есть”, которая не всегда явно используется, но часто подразумевается. Дальнейший переход к математической структуре производится за счет преобразования этой связки в математическое понятие включения множеств. При таком переходе формулировка исходного предложения существенно меняется, но при этом существенного искажения смысла не происходит. В качестве примера возьмем два предложения: 1) “Онегин, добрый мой приятель, родился на брегах Невы” и 2) “Все металлы электропроводны”. Если использовать математическую формулировку, то эти предложения преобразуются в следующие: 1) “Онегин включен в множество моих добрых приятелей и в множество людей, родившихся на брегах Невы” и 2) “Множество металлов включено в множество электропроводных веществ”.
Стоит отметить, что связка “есть” в классическом суждении стала использоваться в логике под влиянием работ схоластов лишь с XIV века. Аристотель формулировал суждения более однозначно. Например, суждение “Все
A не есть B” по Аристотелю выражалось бы как “Любому A не присуще B”. Такая формулировка суждения по смыслу более близка к математическому соотношению включения множеств.Использование понятия “включение множеств” в суждениях однозначно определяет выбор математического аппарата для моделирования и анализа суждений и их произвольных совокупностей (рассуждений). Этим математическим аппаратом является известная многим по школьному курсу информатики алгебра множеств. Законы алгебры множеств соответствуют законам булевой алгебры. Некоторые математики даже считают их эквивалентными (точнее, изоморфными) системами, хотя это не совсем так. Но для моделирования рассуждений алгебра множеств используется не в своем обычном виде – здесь она существенно расширена за счет использования некоторых мало известных свойств отношения включения множеств. Эти свойства подробно изучены в математике, но пока что не получили широкой известности, потому что они исследуются лишь в пределах некоторых появившихся сравнительно недавно разделов математики, таких как теория частично упорядоченных множеств и теория решеток. Однако при определенном методическом подходе понимание этих свойств и умение пользоваться ими при анализе рассуждений не требует от учащихся широкой математической подготовки, хотя некоторый минимальный объем математических знаний безусловно необходим.
На основе охарактеризованных выше предпосылок был разработан метод математического моделирования рассуждений, с помощью которого в рамках силлогистики удалось решить многие проблемы. Разумеется, предложенный метод не претендует на полноту охвата всех возможных логических построений и не заменяет все методы и средства математической логики. Вместе с тем, при анализе рассуждений, которые без существенной потери смысла преобразуются в произвольную совокупность суждений, метод позволяет получить все возможные следствия и проверить отсутствие (или наличие) противоречий, оценить неопределенность (неполноту) данного рассуждения, сформулировать разнообразные гипотезы, уменьшающие эту неопределенность, оценить различные аргументы, подтверждающие или опровергающие данное рассуждение, решить ряд сложных проблем индуктивного вывода и т.д. Многие из упомянутых задач при использовании традиционных методов решаются намного труднее или же не решаются вообще.
Некоторые возможности нового метода удобно продемонстрировать на простом примере, взятом из книги Льюиса Кэрролла [
23]. Пусть заданы три посылки:1) Все малые дети неразумны.
2) Все, кто укрощает крокодилов, заслуживают уважения.
3) Все неразумные люди не заслуживают уважения.
Известные методы (включая метод анализа соритов, разработанный Кэрроллом) позволяют нам установить, что следствием этих посылок является суждение “Все, кто укрощает крокодилов, не являются малыми детьми”.
Если воспользоваться предлагаемым методом, то оказывается, что из этой системы посылок можно вывести 9 следствий, в том числе и то, которое выведено традиционными методами. Остальные следствия являются промежуточными, но все они играют большую роль при более детальном анализе рассуждения. Кроме того, устанавливается, что данная система является полной системой. Это означает, что любое новое суждение, в котором содержатся только термины, содержащиеся в посылках, несовместимо с посылками. Например, суждение “Все разумные люди не укрощают крокодилов” вызывает в данном рассуждении коллизию парадокса “Все, кто укрощает крокодилов, не укрощает крокодилов”. Это означает, что приняв как истинное суждение “Все разумные люди не укрощают крокодилов”, мы приходим к тому, что людей, укрощающих крокодилов, не существует.
Полнота системы однако не препятствует включению в нее новых суждений, при условии, что в этих суждениях содержатся новые термины. Если к трем исходным посылкам добавить четвертую посылку с новым термином, например, “Все, кто жестоко обращается с детьми, не заслуживает уважения”, то никаких коллизий не появится, но при этом мы получим неполную систему с неопределенностями. Анализ неполных систем в традиционных методах связан с большими трудностями и во многих случаях не производится. Если же воспользоваться предлагаемым методом, то оказывается
, что для этой новой системы можно сформулировать 12 новых суждений, каждое из которых по отдельности совместимо с исходной системой, но непосредственно из нее не выводится. К таким суждениям, в частности, относятся два взаимоисключающих суждения “Все неразумные люди жестоко обращаются с детьми” и “Все неразумные люди не обращаются жестоко с детьми”. При этом каждое из них, взятое отдельно, совместимо с исходной системой. Такие “дополняющие” предложения в неполных системах можно использовать как гипотезы.Эти и другие возможности метода для систем с небольшим числом терминов (порядка пяти) легко реализуются вручную с помощью специально разработанных стрелочных диаграмм. Для анализа неполноты более сложных систем уже требуется помощь компьютера. Автором разработана программа. для быстрого и точного решения этих и многих других задач.
В структурах математической логики понятие “субъект” не рассматривается вообще – в ней из классической пары “субъект - предикат” используются только предикаты. Во вводном разделе математической логики (исчислении высказываний) любые предложения рассматриваются просто как истинные или ложные высказывания без дифференциации на “субъекты” и “предикаты”. В обобщающей части математической логики (исчислении предикатов) основное внимание
уделяется простым и сложным предикатам и их сочетаниям в формулах, при этом в современном варианте исчисления предикатов “субъекты” не предусмотрены. Это одна из основных причин многих трудностей, связанных с “переводом” естественных рассуждений на язык математической логики. Но дело не только в неточностях перевода. Подробное исследование математических особенностей структур на основе суждений показало, что алгоритмы логического вывода и анализа рассуждений в этой системе реализуются намного проще, чем при решении аналогичных задач, представленных в структурах математической логики [16, 20].
| Site of Information
Technologies Designed by inftech@webservis.ru. |
|